Dejemos que $f=X^4-1$ y $g=X^3+X$ sean polinomios en $\Bbb Z[X]$ . Encuentre algunos $h \in \Bbb Z[X]$ para lo cual $\langle h \rangle = \langle f,g \rangle.$

Question

Dejemos que $f=X^4-1$ y $g=X^3+X$ sean polinomios en $\Bbb Z[X]$ y que $\langle f, g\rangle$ sea el ideal generado por $f$ y $g$ . Encuentre algunos $h \in \Bbb Z[X]$ para lo cual $$\langle h \rangle = \langle f,g \rangle.$$

Realización de la división larga en $X^4-1$ por $X^3+X$ Obtuve que $$(X^4-1)-X(X^3+X)=-X^2-1$$ por lo que creo que $-X^2-1$ debería funcionar para $h$ en este caso. Sin embargo, no puedo demostrar que $$\langle -X^2-1\rangle = \langle X^4-1, X^3+X\rangle.$$

Si $p \in \langle -X^2-1\rangle$ entonces $p(X)=q(X)(-X^2-1)$ para algunos $q \in \Bbb Z[X]$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que $p(X) = a(X)(X^4-1)+ b(X)(X^3+X)$ para $a,b \in \Bbb Z[X]$ ?

Answer 1

En tu pregunta tienes la ecuación clave.

$$ -X^2 - 1 = (X^4 - 1) - X(X^3 + X)$$

Así que para cualquier $p(X) = q(X)(-X^2 - 1)$ tenemos

$$ p(X) = q(X)\cdot ((X^4 - 1) - X(X^3 + X))$$ $$ = q(X) (X^4 - 1) + (-X q(X)) (X^3 + X)$$

como se desee.