¿Por qué los caracteres del grupo simétrico son de valor entero?

Question

Recuerdo que uno de mis profesores mencionó este hecho durante una clase que tuve hace tiempo, pero cuando busqué en mis apuntes (y en mi libro de texto) no pude encontrar ninguna mención al respecto, y mucho menos la prueba.

Mi mejor conjetura es que tiene algo que ver con la teoría de Galois, ya que basta con demostrar que los caracteres son racionales - tal vez tenemos que encontrar alguna manera de que el grupo simétrico actúe sobre el grupo de Galois de una representación o algo así. Estaría bien que una idea en esta línea funcionara, porque entonces probablemente podríamos generalizar para sacar conclusiones sobre el campo generado por los caracteres de cualquier grupo. ¿Es este el caso?

Answer 1

Basándome en una búsqueda superficial en Google (no soy en absoluto un novato en esta materia, más bien un bebé), la afirmación de que toda representación irreducible de $S_n$ se define sobre $\mathbb{Q}$ parece que se desprende de la teoría de Springer, pero creo que nos gustaría una prueba más elemental. Creo que la dualidad Schur-Weyl y el teorema de Borel-Bott-Weil también deberían funcionar?

De todos modos, el punto es que la "razón" por la que $S_n$ tiene representaciones irreducibles definidas sobre $\mathbb{Q}$ es porque está asociado a un grupo algebraico sobre $\mathbb{Q}$ y, por lo tanto, básicamente cualquier forma de tratar con representaciones irreducibles de grupos de Weyl mostrará esto. Dicho esto, hay un detalle extra en la teoría de Springer fuera del tipo A que me hace dudar en decir que esto funciona para todos los grupos de Weyl... pero creo que sí? ¿Podría alguien aportar su visión?