¿Por qué los caracteres del grupo simétrico son de valor entero?

Question

Recuerdo que uno de mis profesores mencionó este hecho durante una clase que tuve hace tiempo, pero cuando busqué en mis apuntes (y en mi libro de texto) no pude encontrar ninguna mención al respecto, y mucho menos la prueba.

Mi mejor conjetura es que tiene algo que ver con la teoría de Galois, ya que basta con demostrar que los caracteres son racionales - tal vez tenemos que encontrar alguna manera de que el grupo simétrico actúe sobre el grupo de Galois de una representación o algo así. Estaría bien que una idea en esta línea funcionara, porque entonces probablemente podríamos generalizar para sacar conclusiones sobre el campo generado por los caracteres de cualquier grupo. ¿Es este el caso?

Answer 1

Si $g$ es un elemento de orden $m$ en un grupo $G$ y $V$ una representación compleja de $G$ entonces $\chi_V(g)$ se encuentra en $F=\mathbb{Q}(\zeta_m)$ . Dado que el grupo de Galois de $F/\mathbb{Q}$ es $(\mathbb{Z}/m)^\times$ para cualquier $k$ relativamente primo a $m$ los elementos $\chi_V(g)$ y $\chi_V(g^k)$ difieren por la acción del elemento apropiado del grupo de Galois.

Si $G$ es un grupo simétrico y $g$ un elemento como el anterior, entonces $g$ y $g^k$ son conjugados: tienen la misma descomposición de ciclo. Así que $\chi_V(g)=\chi_V(g^k)$ siempre que $(k,m)=1$ y por lo tanto $\chi_V(g)\in \mathbb{Q}$ .

Ahora, porque $\chi_V(g)$ es un entero algebraico (cierto para todo grupo finito, todo carácter complejo) y un número racional, es un entero racional, es decir, un número entero: $\chi_V(g)\in\mathbb{Z}$ .

Answer 2

La respuesta más rápida es que todas las representaciones irreducibles del grupo simétrico se pueden construir sobre el campo de los números racionales. Véase el artículo de la wikipedia sobre los simetrizadores de Young, por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer

De forma más general, se puede decir que se pueden construir representaciones de cualquier grupo de Weyl finito sobre los números racionales. Esto se explica en uno de los artículos de Springer: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=491988

Otra razón es que uno escribe una fórmula combinatoria explícita para los valores de estos caracteres. Esta es la regla de Murnaghan-Nakayama y puede encontrarse en muchas fuentes. Una de estas fuentes es el volumen 2 de Stanley Enumerative Combinatorics, sección 7.17, y la sección 7.18 para su conexión con el grupo simétrico.

Answer 3

Una forma de demostrar que se obtienen enteros es probar que los módulos simples correspondientes están definidos sobre $\mathbb Z$ (esto es, por supuesto, mucho más fuerte que el hecho de que tengan caracteres con valores en $\mathbb Z$ ), y esto es lo que se obtiene al construirlos "combinatoriamente". Esto se hace en la obra de G. D. James libro sobre la teoría de la representación de los grupos simétricos, por ejemplo. Allí incluso construye matrices reales que dan la acción de elementos de $S_n$ en los módulos simples--la llamada forma ortogonal de Young.

Answer 4

Los caracteres de cualquier representación son siempre enteros algebraicos ya que son sumas de raíces de la unidad. Sobre el grupo simétrico, toda representación está definida sobre $\mathbb{Q}$ y los enteros son integralmente cerrados. De hecho, los irreducibles pueden construirse utilizando proyectores de Young que sólo utilizan números racionales.

(Otra forma de ver que toda representación está definida sobre $\mathbb{Q}$ es que todas las clases de conjugación son racionales; esto es lo que indicó Charles en su respuesta).

Answer 5

La teoría de Galois es probablemente la mejor y más sencilla explicación, y la más susceptible de generalización para otros grupos (y campos numéricos más generales). Esto ya está bien explicado en respuestas anteriores. Sólo quiero señalar que Frobenius ya sabía que todos los caracteres irreducibles de $S_{n}$ son $\mathbb{Z}$ -combinaciones de caracteres de permutación (es decir, caracteres inducidos a partir de caracteres triviales de subgrupos). Más tarde se dispuso de información más precisa (tablas de Young, etc., como se menciona en otras respuestas), pero lo que Frobenius sabía ya cubría la cuestión.