Un funcional $\phi$ en un $C^*$ -Álgebra $A$ con elemento unitario, es decir $\phi: A \rightarrow \mathbb{C}$ se llama estado si $\phi(T^*T) \ge 0$ para todos $T \in A$ y $\phi( \operatorname{id}) = 1.$ Ahora, empecé a preguntarme si tal funcional $\phi$ ¿está acotado automáticamente o no?
Respuesta
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Sí, esto es estándar. Deje que $T\in A$ autoadjunto, es decir, con $T=T^*$ . Tenga en cuenta en primer lugar que $\phi(T)$ es real: ya que $T+\|T\|\,\text{id}$ es positivo, tenemos que $$ \phi(T)+\|T||\in\mathbb R, $$ así que $\phi(T)\in \mathbb R$ . Ahora, como $-T+\|T\|\,\text{id}\geq0$ obtenemos $-\phi(T)+\|T\|\geq0$ Así que $$\phi(T)\leq\|T\|.$$ Desde $-T$ también es autoadjunto, también podemos obtener $$-\phi(T)\leq\|T\|.$$ Combinando ambas desigualdades, obtenemos $$|\phi(T)|\leq\|T\|.$$
Ahora, para un $T$ escribimos $T=T_1+iT_2$ con $T_1,T_2$ autoadjunto. Entonces $$ |\phi(T)|\leq|\phi(T_1)|+|\phi(T_2)|\leq2\|T\|. $$ Así que $\phi$ está acotado.
Con un poco más de sutileza, se puede demostrar que $\|\phi\|=1$ . O, más generalmente, si el mapa es positivo pero no unital, $\|\phi\|=\phi(\text{id}).$
