Parece que hay una confusión un tanto profunda en la que te encuentras. Permítame aliviar su malestar.
Véase, para "demostrar por inducción" una afirmación relativa a una propiedad de algo indexado por los números naturales :
-
Formula el enunciado que quieres demostrar : es decir, a cada número natural, asocia un enunciado que quieras demostrar.
-
Demuestra la afirmación correspondiente al número natural $1$ .
-
Demuestra la afirmación correspondiente al número natural $n$ suponiendo que los enunciados correspondientes a $n-1$ es cierto.
Es así de sencillo. ¿O no lo es?
Primera etapa : el enunciado se nos da a veces. Así, podemos asociar al número natural $n$ la declaración : " $a^n+b^n$ es un número entero, donde $a,b$ son las raíces de la ecuación $x^2-x-1 = 0$ ".
Observaciones :
-
$a,b$ son fijos y dadas las raíces de una ecuación cuadrática.
-
Como se ha señalado, $a,b$ no necesitan ser enteros (¡y no lo son en este caso!), pero entonces, $0.5 + 1.5 = 2$ es un número entero aunque $0.5$ y $1.5$ no lo son. Por lo tanto, para que la suma de dos números sea un entero no es necesario que ellos mismos sean enteros.
Por desgracia, la "asignación de declaraciones" anterior no funciona del todo bien: al final aparece un pequeño problema. Tendré que explicar por qué.
Segundo paso : Demostrar la afirmación correspondiente a $n = 1$ .
Esto es : $a+b$ es un número entero.
Bien, aquí tenemos que tirar de nuestros conocimientos sobre ecuaciones. Como las raíces de $x^2-x-1$ son $a,b$ el único polinomio cuadrático con raíces $a,b$ es $(x-a)(x-b)$ . Así, $(x-a)(x-b) = x^2-x-1$ .
Expandiéndose, $x^2 - (a+b)x + ab = x^2-x-1$ . Dado que dos polinomios son iguales si y sólo si todos sus coeficientes : igualando los coeficientes de $x$ nos da $a+b = 1$ que es un número entero.
Así, la declaración correspondiente a $n=1$ está demostrado.
Observamos un poco más : comparando las constantes, $ab = -1$ .
Segundo paso : Para el caso general, necesitamos utilizar de alguna manera que $a^{k} + b^{k}$ es un número entero (para $k < n$ ), para demostrar que $a^n+b^n$ es un número entero.
Ahora, recordemos lo que ha mencionado: el producto de dos enteros es un número entero, la suma de dos enteros es un número entero. Supongamos que puedo obtener $a^n + b^n$ como una suma/producto o como una combinación de pequeñas $a^k+b^k$ Entonces, la observación del párrafo anterior me haría.
Un poco de juego da la brillante : $$ a^n+b^n = (a+b)(a^{n+1} + b^{n+1}) - ab(a^{n-2} + b^{n-2}) $$
ya que sabemos que $ab = -1$ , esto da que $a^n+b^n = (a^{n-1}+b^{n-1}) + (a^{n-2}+b^{n-2})$ . La suma de dos enteros es un entero, trabajo hecho, inducción completa.
Así pues, para demostrar la afirmación relativa a $n$ necesitábamos las declaraciones relativas a $n-1$ y $n-2$ . A veces se necesitan más declaraciones, otras veces menos.
Bien, ¿dónde estaba el problema anterior?
La cuestión es la siguiente: para $n=2$ la inducción no es cierta. Porque, hemos utilizado en secreto el hecho de que $a^0+b^0 = 2$ es un número entero mientras se utiliza la identidad en el paso mágico, si ponemos $n = 2$ en él. Esto no era parte de la inducción en absoluto es una observación independiente. Por lo tanto, hay que tener cuidado al realizar el paso inductivo : el uso de más "pasos previos" en la inducción requerirá de nosotros más observaciones como las anteriores, por muy triviales que sean.
Esencialmente, $n=2$ debe incluirse en el "caso base" como una observación independiente.
ASIDE : Que $x_k = a^k+b^k$ sea la secuencia que nos pidieron que mostráramos como enteros más arriba. El análisis anterior muestra que $x_1 = 1$ , $x_2 = 3$ y $x_{k+2} = x_{k+1} + x_k$ . ¿Puedes identificar aquí algún tipo de secuencia tipo Fibonacci? Lee sobre las secuencias de Lucas aquí : y comprueba si tienen algo que ver con las sumas de las enésimas potencias de las raíces de alguna ecuación cuadrática.
EDIT : La relación que causa mucha angustia es $$ a^n+b^n =(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1}) - ab(a^{n+2}+b^{n-2}) $$
Mira, recuerda siempre la regla de oro : dos polinomios (en muchas variables) son iguales si y sólo si los coeficientes de cada monomio presente en uno de los lados son iguales.
Esta regla de oro la vamos a utilizar.
Ahora, recuerda lo que dije antes: queremos escribir $a^n+b^n$ como una suma/producto o una combinación de términos formada por $a^k + b^k$ con $k<n$ para que podamos proclamar que la suma/producto de enteros es un entero.
Por lo tanto, deberíamos empezar por , decir cómo "llegar" a $a^n+b^n$ de $a^{n-1}+b^{n-1}$ . Este es el término, de los que conocemos como integrales, que parece más cercano a $a^n+b^n$ .
Estamos en el paso : $$ a^n+b^n = ????(a^{n-1}+b^{n-1})???? $$
Donde he indicado que el lado derecho es desconocido, pero implica $a^{n-1} + b^{n-1}$ .
¿Cómo llegamos? Utilizar la regla de oro: ya que tenemos un $a^n$ en el lado izquierdo, necesitamos uno en el lado derecho. ¿Cómo lo conseguimos? Sencillo: multiplicando $a^{n-1}$ por $a$ para conseguir $a^n$ . Bien.
Pero entonces, el $b^{n-1}$ también se multiplica por $a$ . Así que también acabamos con un extra $b^{n-1}a$ en el lado derecho, si multiplicamos por $a$ .
Ahora estamos en: $$ a^{n}+b^n = a(a^{n-1} + b^{n-1}) + ???? = a^n + ab^{n-1} + ??? $$
Haga lo mismo con $b^n$ Necesitamos $b^n$ en el lado derecho, así que multiplica $b^{n-1}$ con $b$ para conseguir $b^n$ . Sin embargo, como $a^{n-1} + b^{n-1}$ necesita reunirse mientras se multiplica, tenemos que tener en cuenta que $b a^{n-1}$ también aparecerá.
Ahora estamos en: $$ a^{n} + b^n = a(a^{n-1} + b^{n-1}) + b(a^{n-1}+b^{n-1}) + ????? $$
Ahora, miramos y nos damos cuenta de que cada término de la izquierda tiene el grado correcto. Por lo tanto, ???? debe consistir en términos que se anulan, de modo que todos los demás coeficientes, como $ab^{n-1}$ y $ba^{n-1}$ son cero, porque estos términos no aparecen en el lado izquierdo.
En esencia, tenemos: $$ a^n+b^n = a(a^{n-1} + b^{n-1}) + b(a^{n-1} + b^{n-1}) - ba^{n-1} - ab^{n-1} $$
Ahora, afortunadamente, las cosas se ponen en su sitio. Afortunadamente uno colecciona alegremente los términos, y se da cuenta de que $ba^{n-1} + ab^{n-1} = ab(a^{n-2} + b^{n-2})$ . Poner las cosas en su sitio : $$ a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} + b^{n-1}) - ab(b^{n-2} + a^{n-2}) $$
Fíjate en lo agradecido que estoy. Si las cosas no funcionaran a través de la regla de oro, entonces tendría que utilizar alguna otra forma de resolver las cosas.
En general, las identidades polinómicas como ésta son cosa de dioses. Es cierto que se puede utilizar la "regla de oro" con cierto efecto, pero las identidades como esta: $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 $$
implican "completar el cuadrado", otra técnica que es popular. Verás más de estas identidades a medida que avances, pero el tema es tan variado que verás una forma diferente de derivar cada una.
