Cómo demostrar que no hay un mínimo/máximo absoluto para un $f(x,y)$ ¿función?

Question

Se trata de esta función $f(x,y)=\frac{1}{(x-a)^2+y^2+4} +\frac{1}{(x+a)^2+y^2+4}$ donde $a$ es una constante.

Me he dado cuenta de que alcanza su valor máximo a $(x,y)=(0,0)$ y que no hay un mínimo absoluto ya que la función irá alcanzando valores más pequeños a medida que vayamos introduciendo valores más altos/pequeños para $(x,y)$ y $a$ .

¿Cómo se demuestra esto formalmente utilizando el teorema de Weierstrass?

Editar: El teorema de Weierstrass no era relevante porque el dominio de $f(x,y), D$ no está acotado.

Ahora he asumido que la función alcanza su mínimo absoluto $f(x,y)=m$ en $(x,y)=(x_0,y_0)$ Así que

$m\leq f(x,y) ,\forall(x,y)\Rightarrow \lim_{(x,y)\to\infty} m\leq \lim_{(x,y)\to\infty} f(x,y) \Rightarrow m\leq0.$

Ahora quiero demostrar que $f(x,y)$ es siempre positiva, necesito ayuda para demostrar que la función alcanza su máximo en $(0,0)$ .

Answer 1

La función $f$ es estrictamente positivo para todo $(x,y)\in{\mathbb R}^2$ . Por otro lado, dejar que $r:=\sqrt{x^2+y^2}$ obviamente tenemos $\lim_{r\to\infty} f(x,y)=0$ . De ello se desprende que $f$ supone que no hay un mínimo global en ${\mathbb R}^2$ .

Dejemos que $\epsilon:={1\over2}f(0,0)={1\over a^2+4}>0$ . Entonces hay un $R>0$ tal que $f(x,y)\leq\epsilon$ cuando $r\geq R$ . La función $f$ asume un máximo global $\geq2\epsilon$ en el disco cerrado $B_R$ y este máximo es entonces también el máximo global de $f$ en ${\mathbb R}^2$ . Además podemos afirmar que este máximo se tomará en un punto interior de $B_R$ por lo que en un punto crítico de $f$ .

Inspección de la expresión que define $f$ muestra que en el punto máximo tenemos necesariamente $y=0$ . Por lo tanto, basta con considerar los puntos críticos de la función $$g(x):=f(x,0)={1\over(x-a)^2+4}+{1\over(x+a)^2+4}\ .$$ El numerador de $g'(x)$ computa a $$N(x)=-4x\bigl(x^4+2x^2(4+a^2)+(4+a^2)(4-3a^2)\bigr)\ .$$ Analizando la expresión en el lado derecho encontramos lo siguiente: Cuando $a\leq2/\sqrt{3}$ entonces sólo existe el punto crítico $x_0=0$ de $g$ lo que da necesariamente el máximo global de $f$ en ${\mathbb R}^2$ . Pero cuando $a>2/\sqrt{3}$ hay tres puntos críticos $x_{\pm1}$ y $x_0$ . El gráfico de $g$ tiene dos máximos locales en $x_{\pm1}$ y un mínimo local en $x_0=0$ . El máximo global de $f$ en ${\mathbb R}^2$ viene dada por $f(x_{\pm1},0)$ . (El valor máximo de $f$ puede calcularse explícitamente).