No puedo entender cómo aparece el rectángulo. Intentando dibujarla.
En el tablero de ajedrez 4x82 cada casilla es de color rojo, azul o verde. Demuestra que, independientemente del color del ajedrez, hay cuatro casillas del mismo color que forman un rectángulo.
Hay $3^4=81$ posibles columnas, como $\begin{bmatrix} r & b & b & g \end{bmatrix}^T$ . Ya que hay $4$ filas pero sólo $3$ colores (y $3<4$ ), ...
... en cada columna posible, un color aparece dos veces.
Y como $82>81$ ...
... alguna columna aparece dos veces.
Por lo tanto, hay un rectángulo monocromático.
Supongo que lo anterior es la prueba deseada, pero es posible demostrarlo para $4 \times 39$ rectángulos.
Hay un color en la fila 1 que aparece al menos $\lceil 39/3 \rceil = 13$ veces; llámalo rojo. Elimine todo menos esto $13$ columnas (con un rojo en la fila $1$ ).
Ahora el rojo sólo aparece una vez en la fila 2 (o hay un rectángulo rojo). Por tanto, hay un color en la fila 2 que aparece al menos $\lceil (13-1)/2 \rceil = 6$ veces; llámalo verde. Elimine todo menos esto $6$ columnas (con un rojo en la fila $1$ y un verde en fila $2$ ).
Ahora tanto el rojo como el verde sólo aparecen una vez en la fila 3 (o hay un rectángulo rojo o verde). Así, el color azul aparece $6-2=4$ veces seguidas $3$ . Elimine todo menos esto $4$ columnas (con un rojo en la fila $1$ , un verde en fila $2$ , y un azul en fila $3$ ).
Como hay tres colores, dos de estos $4$ columnas deben ser iguales, y obtenemos un rectángulo monocromático.
Para forzar un rectángulo monocromático, un tablero de tamaño
$4$ x $19$
es necesario (mucho menos que $4$ x $82$ ).
Prueba: supongamos que no hay ningún rectángulo monocromático en un $4$ x $x$ rectángulo.
Por lo tanto: como máximo una columna puede contener rojo tanto en el primero y el segundo filas.
Hay $3$ colores y $C(4,2) = 6$ pares de filas, lo que significa que hay $18$ declaraciones de esta forma general. Pero cada debe contener al menos un par de cuadrados monocromáticos.
Así que $x \le 18$ .
Por el principio de encasillamiento:
a $19th$ forzará un rectángulo monocromático.
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