¿Cómo encontrar los polos de una función verde?

Question

Estoy tratando de construir una función verde para $y''+\alpha^2u=f(x), u(0)=u(1), u'(0)=u'(1)$ . Para ello estoy tratando de seguir el procedimiento descrito aquí:( Construye la función de Green para la ecuación )

No pude saber cómo encontrar " $a$ ".

Answer 1

Para los fijos $t \in (0,1)$ la función de Green $G(x,t)$ es la solución de $$ G_{xx}(x,t)+\alpha^{2}G(x,t) = \delta_{t}(x) \\ G(0,t)=G(1,t),\\ G_{x}(0,t)=G_{x}(1,t) $$ Dejemos que $Lf=f''+\alpha^{2}f$ . Lo anterior significa $LG(x,t)=0$ para $x < t$ y para $x > t$ . Así que hay que coser soluciones de $Lf=0$ para que (a) se junten continuamente en $t$ (b) tienen un salto unitario en la derivada en $t$ y (c) son periódicos junto con la primera derivada.

A la izquierda de $t$ la solución será $Ae^{-i\alpha x}+Be^{i\alpha x}$ y a la derecha será $Ce^{-i\alpha x}+De^{i\alpha x}$ . Para imponer la periodicidad, $$ A +B= Ce^{-i\alpha}+De^{i\alpha},\\ -A+B = -Ce^{-i\alpha}+De^{i\alpha} $$ Continuidad en $x = t$ da $$ Ae^{-i\alpha t}+Be^{i\alpha t} = Ce^{-i\alpha t}+De^{i\alpha t}. $$ Un salto en la derivada de $1$ como $x$ cruza $t$ da $$ (-iCe^{-i\alpha t}+iDe^{i\alpha t})-(-iAe^{-i\alpha t}+iD^{i\alpha t}) = 1. $$ Cuatro ecuaciones, cuatro incógnitas. Obtendrás una solución única a menos que $e^{i\alpha}=1$ que es el caso en el que $Lf=0$ tiene soluciones periódicas no triviales en $[0,1]$ .

Answer 2

Empiece por escribir soluciones para $x<x'$ y $x>x'$ como

$$\begin{align} &g(x,x')=A(x')\sin \alpha x+B(x')\cos \alpha x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots x<x' \tag1\\\\ &g(x,x')=C(x')\sin \alpha(x-1)+D(x')\cos \alpha(x-1)\,\cdots x>x'\tag2 \end{align}$$

Aplicación de las condiciones de contorno $g(0,x')=g(1,x')$ y $g_1(0,x')=g_1(1,x')$ en $(1)$ y $(2)$ revela que $A(x')=C(x')$ y $B(x')=D(x')$ .

También hacemos valer la continuidad de $g$ en $x=x'$ junto con la condición $g_1(x,x_>')-g_1(x,x_<')=1$ para encontrar que

$$A(x')=\frac{\cos \alpha(x'-1)-\cos \alpha x'}{4\alpha\sin^2(\alpha/2)}$$

$$B(x')=-\frac{\sin \alpha(x'-1)-\sin \alpha x'}{4\alpha\sin^2(\alpha/2)}$$

y por lo tanto

$$\begin{align} &g(x,x')= \frac{\sin \alpha(x-x'+1)-\sin \alpha(x-x')}{4\alpha\sin^2(\alpha/2)}\,\,\cdots x<x' \\\\ &g(x,x')=\frac{\sin \alpha(x-x')-\sin \alpha(x-x'-1)}{4\alpha\sin^2(\alpha/2)}\,\cdots x>x' \end{align}$$

que es una solución válida para todos los $\alpha \ne 2m\pi$ , $m$ un número entero.