Transformación lineal fraccionaria que fija el origen y preserva todas las distancias

Question

Demostrar que la transformación más general que deja el origen fijo y preserva todas las distancias es una rotación o una rotación seguida de reflexión en el eje real.

Representamos una transformación (lineal fraccionaria) mediante $f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ para algunas constantes complejas $a,b,c,d$ con $ad-bc\neq 0$ .

Como el origen es fijo, tenemos $0=f(0)=\dfrac{b}{d}$ para que $b=0$ y $f(z)=\dfrac{az}{cz+d}$ .

Ahora, la transformación preserva todas las distancias. Así que $$|z_1-z_2|=|f(z_1)-f(z_2)|=\left|\dfrac{az_1}{cz_1+d}-\dfrac{az_2}{cz_2+d}\right| = \frac{|a||d||z_1-z_2|}{|cz_1+d||cz_2+d|}$$ para todos los valores complejos $z_1,z_2$ para que $|cz_1+d||cz_2+d|=|ad|$ . Dado que esto es válido para todos los $z_1,z_2$ tenemos que $|cz+d|$ debe ser constante, y esa constante es igual a $\sqrt{|ad|}$ . Además, cuando $z_0$ , $|cz+d|=|d|$ . Así que $\sqrt{|ad|}=|d|$ implica $|a|=|d|$ .

¿Qué podemos hacer ahora? No veo cómo llegar a la parte de rotación/reflexión.

Answer 1

Si sólo se consideran las transformaciones fraccionarias lineales, entonces $0 \mapsto 0$ y $\infty \mapsto \infty$ (conserva todas las distancias) implica $f(z)=az$ . Como la transformación preserva todas las distancias, tenemos $a=e^{i\alpha}$ es decir $f$ es una rotación.

Pero si no necesita $f$ sea una transformación lineal fraccionaria, entonces dejemos que $e^{i\alpha}:=f(1)$ . Desde $f$ preserva todas las distancias sólo hay dos posibilidades para cada $re^{i\varphi}$ : $$re^{i\varphi} \mapsto re^{i(\alpha+\varphi)} \quad \text{ or } \quad re^{i\varphi} \mapsto re^{i(\alpha-\varphi)}.$$

El primer mapeo es la rotación por $\alpha$ el segundo es la rotación por $-\alpha$ seguido de la reflexión en el eje real.