El grado de un polinomio es único

Question

Dejemos que $\mathbb{F}$ sea un campo y que $P:\mathbb{F} \to \mathbb{F}$ sea un polinomio (es decir, existe una secuencia finita $a_{0},\dots ,a_{n}$ de escalares en $\mathbb{F}$ tal que $P(z)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}$ para todos $z$ en $\mathbb{F}$ ). ¿Cómo se puede demostrar que el grado del polinomio es único o en otras palabras ( $a_{n} \neq 0,b_{m} \neq 0$ y $\sum_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}=\sum_{i=0}^{m}b_{i}z^{i}$ para todos $z \in \mathbb{F} \implies n=m $ )

Problema con el que me encuentro:

Si $\mathbb{F}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ entonces es bastante fácil porque cada uno de estos campos es infinito por lo que el polinomio $\sum_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}-\sum_{i=0}^{m}b_{i}z^{i}$ no puede tener raíces infinitas debido al Teorema Fundamental del Álgebra, pero ¿qué pasa si $\mathbb{F}$ es finito.

Answer 1

No lo haces, porque $x^p\equiv x \bmod p$ en el campo con $p$ elementos, por lo que los polinomios $x^p$ y $x$ son equivalentes en $\mathbb F_p[x]$ usando la prueba que has dado (aunque los polinomios son distintos como polinomios y tienen diferentes grados como polinomios).

Entonces, ¿cómo se define el grado de un polinomio?