El pdf de la OMI (Olimpiada Internacional de Matemáticas): https://www.imo-official.org/problems/IMO2006SL.pdf
Mi pregunta se refiere esencialmente a la siguiente ecuación: 
La pregunta: ¿Por qué los $2$ valores alternativos $a_{i0}$ y $1 − a_{i0}.$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tienes que
$$a_i = -\frac{1}{2} + (-1)^{i-i_0}b_{i_0} \tag{1}\label{eq1A}$$
Utilizando $i = i_0$ da
$$a_{i_0} = -\frac{1}{2} + b_{i_0} \implies b_{i_0} = a_{i_0} + \frac{1}{2} \tag{2}\label{eq2A}$$
Para todos $i = i_0 + 2k$ con números enteros $k \gt 0$ , usted tiene $(-1)^{i-i_0} = (-1)^{2k} = 1$ Así que
$$a_i = -\frac{1}{2} + b_{i_0} = a_{i_0} \tag{3}\label{eq3A}$$
Para todos $i = i_0 + 2k + 1$ para los enteros $k \ge 0$ , se obtiene $(-1)^{i-i_0} = (-1)^{2k + 1} = -1$ Así que
$$a_i = -\frac{1}{2} - b_{i_0} = -\frac{1}{2} - (a_{i_0} + \frac{1}{2}) = - 1 - a_{i_0} \tag{4}\label{eq4A}$$
Esto demuestra por qué hay $2$ secuencias dadas, como la forma del resultado para expresar $a_i$ en términos de $a_{i_0}$ es diferente dependiendo de si la potencia de $-1$ en \eqref {eq1A} es par o impar.
Además, parece que hay una errata en los resultados, ya que el resultado de $a_i$ en \eqref {eq1A} debería utilizar $\frac{1}{2}$ en lugar de $-\frac{1}{2}$ o su segundo resultado para donde $i - i_0$ es que impar debe utilizar $-1$ en lugar de $+1$ .
