Finalización del espacio normado

Question

Dejemos que $(X,\|\cdot\|_X)$ sea un espacio de Banach y $S$ un subespacio de $X$ (no necesariamente cerrado). Consideremos un operador lineal (no necesariamente acotado) $T:S \rightarrow X$ y equipar $S$ con la norma $\|u\|_S := \|u\|_X + \|T(u)\|_X$ que hace que $T$ continua.

Denote $S'$ la finalización de $S$ con respecto a la norma $\|\cdot\|_S$ .

1) ¿Podemos asegurar que $S'$ i contenida en $X$ (obviamente, la noción de contenido es en el sentido de las clases de equivalencia de Cauchy). Creo que sí, porque $\|\cdot \|_X \leq \|\cdot\|_S$ en $S$ y, por tanto, cada par de secuencias de Cauchy equivalentes en $(S,\|\cdot\|_S)$ son también secuencias de Cauchy equivalentes en $(X,\|\cdot\|_X)$ .

2) ¿Podemos ampliar $T$ de alguna manera a $T': S' \rightarrow X$ ? ¿Sería algo así como $T'(s') = \lim_n T(s_n)$ , donde $s_n$ es una secuencia en $S$ convergiendo a $s'$ en la extensión de la norma $\|\cdot\|_S$ ?

3) En el caso de que 2) sea cierto, ¿se cumple que $\operatorname{Ker}(T') = \operatorname{Ker}(T)$ ?

En caso de que te preguntes por qué estoy preguntando esto, la respuesta es que estoy tratando de saber si lo que se sostiene en los Espacios de Sobolev también se puede extender de alguna manera para entornos más generales. Es decir, si consideramos $\Omega \subset \mathbb R$ un intervalo abierto y $X = L^2(\Omega)$ , $S = C_c^\infty(\overline\Omega)$ y $T$ el operador de la derivada sabemos que 1)-2)-3) se cumplen, siendo $S' = H^1(\Omega)$ y los Kernels el espacio de las funciones constantes.

Answer 1

Responderé primero a la segunda de sus preguntas. Sí, podemos ampliar $T$ à $S'$ y lo que has escrito es una de las formas estándar de describir la extensión. Es un caso especial de un teorema más general. Si $E$ es un espacio normado, $F$ un espacio de Banach, y $\tilde{E}$ la finalización de $E$ entonces todo mapa lineal continuo $L \colon E \to F$ tiene una única extensión lineal continua $\tilde{L} \colon \tilde{E} \to F$ . Además este es un caso especial de un teorema más general, no necesitamos las normas, lo mismo (mutatis mutandis) vale si $E$ es un espacio vectorial topológico, $\tilde{E}$ su finalización y $F$ un espacio vectorial topológico completo. Y la estructura del espacio vectorial también es irrelevante, podemos tomar $E$ como un espacio uniforme con terminación $\tilde{E}$ , $F$ un espacio uniforme completo, y $L \colon E \to F$ una función uniformemente continua. (Si aún no conoces los espacios uniformes, toma los espacios métricos).

La respuesta a su primera pregunta es más complicada. Aunque efectivamente las secuencias de Cauchy equivalentes en $S$ corresponden a secuencias de Cauchy equivalentes en $X$ puede ocurrir que las clases de secuencias de Cauchy no equivalentes en $S$ corresponden a clases de secuencias de Cauchy equivalentes en $X$ .

Me parece más transparente identificar $S$ con el gráfico de $T$ es decir, considerar $$Y = \{(u, T(u)) : u \in S\} \subset X \times X.$$ Dotación $X\times X$ con la norma $\lVert (x,y)\rVert_{X\times X} = \lVert x\rVert_X + \lVert y\rVert_X$ lo convierte en un espacio de Banach (esta norma induce la topología del producto) y la proyección $\pi_1 \colon (x,y) \mapsto x$ induce una isometría $\iota \colon Y \to S$ cuando $Y$ está normada por la restricción de $\lVert\,\cdot\,\rVert_{X\times X}$ y $S$ está normalizado por $\lVert\,\cdot\,\rVert_S$ . Esto da una identificación de $S'$ con $\overline{Y}\subset X \times X$ . Y la interpretación natural de " $S'$ está contenida en $X$ " es que la restricción de $\pi_1$ à $\overline{Y}$ establece que la inclusión, es decir, que $\pi_1\lvert_{\overline{Y}}$ es inyectiva. Se ve fácilmente que esto es equivalente a decir que $\overline{Y}$ es la gráfica de un mapa lineal (con dominio $\pi_1(\overline{Y}) \subset X$ ), y a la condición $(0,v) \in \overline{Y} \iff v = 0$ . Así, en este sentido $S'$ está contenida en $X$ si y sólo si $T$ es un operador cerrable. Puede haber inyecciones continuas $S' \hookrightarrow X$ también en otros casos, pero la extensión de la inclusión natural $S \hookrightarrow X$ à $S'$ es inyectiva si y sólo si $T$ se puede cerrar.

En resumen: en general no podemos asegurar que $S'$ está contenida en $X$ , pero modestas condiciones de amabilidad en $T$ es suficiente.

La respuesta corta a la tercera pregunta es también "en general, no". Si $\ker T$ no es un subespacio cerrado de $X$ entonces tenemos trivialmente $\ker T \subsetneqq \overline{\ker T} \subset \ker T'$ (bueno, si $T$ no es cerrable las inclusiones deben ser interpretadas adecuadamente). Pero también podemos tener $\ker T \subsetneqq \ker T'$ si $\ker T$ está cerrado en $X$ aunque $T$ es continua. Consideremos en $X = \ell^2(\mathbb{N})$ el subespacio $S$ de secuencias con sólo un número finito de términos no nulos, y $T(u) = u - \langle u \mathop{\vert} \xi\rangle\cdot \xi$ donde $\xi$ es un vector unitario con infinitos términos no nulos. Entonces $T$ es inyectiva, $S'$ puede identificarse naturalmente con $X$ y $\ker T' = \mathbb{C}\cdot \xi$ .