Responderé primero a la segunda de sus preguntas. Sí, podemos ampliar $T$ à $S'$ y lo que has escrito es una de las formas estándar de describir la extensión. Es un caso especial de un teorema más general. Si $E$ es un espacio normado, $F$ un espacio de Banach, y $\tilde{E}$ la finalización de $E$ entonces todo mapa lineal continuo $L \colon E \to F$ tiene una única extensión lineal continua $\tilde{L} \colon \tilde{E} \to F$ . Además este es un caso especial de un teorema más general, no necesitamos las normas, lo mismo (mutatis mutandis) vale si $E$ es un espacio vectorial topológico, $\tilde{E}$ su finalización y $F$ un espacio vectorial topológico completo. Y la estructura del espacio vectorial también es irrelevante, podemos tomar $E$ como un espacio uniforme con terminación $\tilde{E}$ , $F$ un espacio uniforme completo, y $L \colon E \to F$ una función uniformemente continua. (Si aún no conoces los espacios uniformes, toma los espacios métricos).
La respuesta a su primera pregunta es más complicada. Aunque efectivamente las secuencias de Cauchy equivalentes en $S$ corresponden a secuencias de Cauchy equivalentes en $X$ puede ocurrir que las clases de secuencias de Cauchy no equivalentes en $S$ corresponden a clases de secuencias de Cauchy equivalentes en $X$ .
Me parece más transparente identificar $S$ con el gráfico de $T$ es decir, considerar $$Y = \{(u, T(u)) : u \in S\} \subset X \times X.$$ Dotación $X\times X$ con la norma $\lVert (x,y)\rVert_{X\times X} = \lVert x\rVert_X + \lVert y\rVert_X$ lo convierte en un espacio de Banach (esta norma induce la topología del producto) y la proyección $\pi_1 \colon (x,y) \mapsto x$ induce una isometría $\iota \colon Y \to S$ cuando $Y$ está normada por la restricción de $\lVert\,\cdot\,\rVert_{X\times X}$ y $S$ está normalizado por $\lVert\,\cdot\,\rVert_S$ . Esto da una identificación de $S'$ con $\overline{Y}\subset X \times X$ . Y la interpretación natural de " $S'$ está contenida en $X$ " es que la restricción de $\pi_1$ à $\overline{Y}$ establece que la inclusión, es decir, que $\pi_1\lvert_{\overline{Y}}$ es inyectiva. Se ve fácilmente que esto es equivalente a decir que $\overline{Y}$ es la gráfica de un mapa lineal (con dominio $\pi_1(\overline{Y}) \subset X$ ), y a la condición $(0,v) \in \overline{Y} \iff v = 0$ . Así, en este sentido $S'$ está contenida en $X$ si y sólo si $T$ es un operador cerrable. Puede haber inyecciones continuas $S' \hookrightarrow X$ también en otros casos, pero la extensión de la inclusión natural $S \hookrightarrow X$ à $S'$ es inyectiva si y sólo si $T$ se puede cerrar.
En resumen: en general no podemos asegurar que $S'$ está contenida en $X$ , pero modestas condiciones de amabilidad en $T$ es suficiente.
La respuesta corta a la tercera pregunta es también "en general, no". Si $\ker T$ no es un subespacio cerrado de $X$ entonces tenemos trivialmente $\ker T \subsetneqq \overline{\ker T} \subset \ker T'$ (bueno, si $T$ no es cerrable las inclusiones deben ser interpretadas adecuadamente). Pero también podemos tener $\ker T \subsetneqq \ker T'$ si $\ker T$ está cerrado en $X$ aunque $T$ es continua. Consideremos en $X = \ell^2(\mathbb{N})$ el subespacio $S$ de secuencias con sólo un número finito de términos no nulos, y $T(u) = u - \langle u \mathop{\vert} \xi\rangle\cdot \xi$ donde $\xi$ es un vector unitario con infinitos términos no nulos. Entonces $T$ es inyectiva, $S'$ puede identificarse naturalmente con $X$ y $\ker T' = \mathbb{C}\cdot \xi$ .
