Prueba $\sin(\alpha -\beta)+\sin(\alpha-\gamma)+\sin(\beta-\gamma)=4\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}$

Question

Aquí hay un problema de Gelfand Trigonometría :

Dejemos que $\alpha, \beta, \gamma$ sea un ángulo cualquiera, demuestre que $$\sin(\alpha -\beta)+\sin(\alpha-\gamma)+\sin(\beta-\gamma)=4\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\gamma}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right).$$

He intentado trabajar en este problema pero no puedo completarlo. Si dejo que $A= \alpha -\beta$ , $B=\beta-\gamma$ y $C= \beta-\gamma$ y $A+B+C=\pi$ (ahora $A$ , $B$ y $C$ son ángulos de un triángulo), entonces podría demostrar la igualdad. Pero sin esta condición, estoy atascado.

¿Podría mostrarme cómo completar este ejercicio?

Answer 1

$$ \begin{align} \color{#C00}{\sin(x)+\sin(y)}+\color{#090}{\sin(x+y)} &=\color{#C00}{2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right)}+\color{#090}{2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x+y}2\right)}\\ &=2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\left[\cos\left(\frac{x-y}2\right)+\cos\left(\frac{x+y}2\right)\right]\\ %&=2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\,\color{#00F}{2\cos\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac y2\right)}\\ %&=4\sin\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac x2\right)\cos\left(\frac y2\right) \end{align} $$ Termina utilizando la fórmula del coseno de una suma/diferencia, y luego pon $x=\alpha-\beta$ y $y=\beta-\gamma$ .

Answer 2

Utilice \begin{eqnarray*} \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \end{eqnarray*} para dar \begin{eqnarray*} \sin (\alpha-\beta) + \sin (\alpha-\gamma) = 2 \sin \left( \frac{2 \alpha-\beta-\gamma}{2} \right) \cos \left( \frac{\beta-\gamma}{2} \right). \end{eqnarray*} Ahora utiliza la fórmula del ángulo doble \begin{eqnarray*} \sin(\beta-\gamma)=2 \sin \left(\frac{\beta-\gamma}{2} \right) \cos \left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right). \end{eqnarray*} Utiliza de nuevo la primera fórmula y el resultado es el siguiente.

Answer 3

Utiliza la factorización y el álgebra. Sea $\;X:=e^{ix},\;Y:=e^{iy},\;Z:=e^{iz}.\;$ Entonces se cumplen las siguientes ecuaciones

$$\;\sin(x) = \frac{X-X^{-1}}{2i}, \; \cos(x)=\frac{X+X^{-1}}2,\; \sin(x-y) = \frac{X^2-Y^2}{2iXY},\; \cos(x-y)=\frac{X^2+Y^2}{2XY}.$$

Suma y factorización de estas ecuaciones utilizando un Sistema de álgebra de Compuber da la ecuación $$ \sin(x\!-\!y) \!+\! \sin(x\!-\!z) \!+\! \sin(y\!-\!z) \!=\! \frac{X^2\!-\!Y^2}{2iXY} \!+\! \frac{X^2\!-\!Z^2}{2iXZ} \!+\! \frac{Y^2\!-\!Z^2}{2iYZ} \!=\! \frac{(X\!+\!Y)(X\!-\!Z)(Y\!+\!Z)}{2iXYZ}. $$

$$\textrm{Also now we have} \quad\cos\frac{x-y}2 = \frac{X+Y}{2\sqrt{XY}},\quad \sin\frac{x-z}2 = \frac{X-Z}{2i\sqrt{XZ}},\quad \cos\frac{y-z}2 = \frac{Y+Z}{2\sqrt{YZ}},$$ y el resultado es el siguiente. Por supuesto, las identidades trigonométricas pueden y han sido utilizadas para demostrarlo.