Dejemos que $A$ sea un álgebra con $1$ sobre un campo $K$ que es algebraico sobre $K$ . Demuestre que si $ab=1$ entonces también $ba=1$ .
¿Alguna pista al respecto?
Supongamos que $a$ es la raíz de un $n$ -polinomio de grado sobre $K$ y $b$ es la raíz de un $m$ polinomio de grado sobre $K$ .
Entonces cada elemento de $K[a,b]$ (es decir, el subring de $A$ generado por $K$ , $a$ y $b$ ) puede reducirse a la forma $\sum \alpha_{ij}b^ia^j$ donde $i< m$ y $j< n$ y $\alpha_{ij}\in K$ . Por supuesto, todos los $ab$ 's que puedas encontrar se desvanecen de inmediato, y cualquier poder superior de $b$ o $a$ se reducirá a polinomios de menor grado a través de las relaciones introducidas por sus polinomios.
Entonces, aparentemente $\{b^ia^j\mid 0\leq i< m, 0\leq j< n\}$ es un $K$ grupo electrógeno para $K[a,b]$ Así que $K[a,b]$ es una dimensión finita $K$ el álgebra.
Por dimensionalidad finita, es un anillo artiniano de izquierda y derecha. En tales anillos, $xy=1$ implica $yx=1$ como se ha comentado, por ejemplo aquí .
Hay muchos argumentos flotando en el sitio para que usted pueda elegir. En este caso podría observar que la condición que $ab=1$ implica $b$ es un derecho inyectivo $K$ -mapa lineal de $K[a,b]\to K[a,b]$ y utilizar la dimensionalidad finita para concluir que es suryectiva, y por lo tanto tiene que tener una inversa directa.
Perdón por ser quisquilloso: me gustaría evitar los anillos artinianos y utilizar el último argumento
En ese caso, yo seguiría este camino. Si $ab=1$ entonces como homomorfismos (actuando por multiplicación a la izquierda) $b$ es uno a uno y $a$ es en. Como $K[a,b]$ es de dimensión finita, $b$ es necesariamente también onto. Esto significa que $ba$ un compuesto de mapas onto, y por lo tanto también es onto.
Por lo tanto, debe existir $x\in K[a,b]$ tal que $bax=1-ba$ . Pero multiplicando esto a la izquierda con $a$ se obtiene $ax=a-a=0$ para que $bax=1-ba$ se convierte en $0=1-ba$ . Por supuesto, entonces $1=ba$ .
El último párrafo parece un poco místico: ¿cómo he sabido mirar $1-ba$ ? Mi pensamiento era el siguiente: " $ba$ es un idempotente, lo que significa que $(ba)^2=ba$ . Un homomorfismo idempotente es como un proyección y una proyección que está sobre tiene que ser $1$ ¿no?" Estaba bastante seguro de que un homomorfismo idempotente no trivial no podía mapear sobre elementos no nulos de su propio núcleo, por lo que inmediatamente miré $1-ba$ ya que sé que está en el núcleo: $ba(1-ba)=ba-(ba)^2=0$ .
Buen trabajo. No estoy en mi sharperst hoy, así que me tomó un tiempo para darse cuenta de que su descripción de $K[a,b]$ funciona incluso sin conmutatividad porque la relación $ab=1$ le permite simplificar productos como $b^{i_1}a^{j_1}b^{i_2}a^{j_2}\cdots$ .
Supongo que el subring de $A$ generado por $K$ , $a$ y $b$ significa lo mismo que la subálgebra generada por a und b?
@mathstackuser Aquí vienen a ser lo mismo, sí. Pero sólo necesitas la estructura anular para sacar la conclusión.
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Seguramente $a$ y $b$ yacen en alguna subálgebra de dimensión finita de $K$ . En un anillo Artiniano, $ab=1$ implica $ba=1$ .
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@LordSharktheUnknown Buena pista... ¿podrías considerar publicarla como una respuesta indirecta? No sirve de nada dejar la pregunta sin respuesta, y es un poco incómodo cuando una tercera persona repite como un loro el comentario-pista de otra como respuesta.
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Ya no estoy seguro de que éste sea un planteamiento válido. Si alguien más puede salvarlo, ¡buena suerte! @rschwieb
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@LordSharktheUnknown Que así sea... No estoy seguro de cuál era la preocupación, pero espero que me digáis si he metido la pata en mi solución.