Es $\int\limits_{-a}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_0^a f(-x)\,\mathrm{d}x$ ¿Es cierto?

Question

¿Es cierto el siguiente teorema? En caso afirmativo, ¿cómo se demuestra?

$$\int\limits_{-a}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = \int\limits_0^a f(-x)\,\mathrm{d}x$$

Actualización: $$ \int\limits_{\color{red}-a}^{0} f(x) \,\mathrm{d}x = \color{red}-\int\limits_{\color{red}+a}^{0} f(\color{red}-x) \,\mathrm{d}x = \int\limits_{0}^{\color{red}+a} f(\color{red}-x)\,\mathrm{d}x $$

¿tiene sentido?

Answer 1

Es cierto, para demostrarlo prueba a hacer un $u$ -sustitución por $u = -x$ .

Answer 2

Definir $F(x): \frac{d}{dx} F(x) = f(x)$ .

Entonces la primera integral se evalúa como $F(0) - F(-a)$ .

Ahora, para la segunda integral utiliza u = -x (como dijo Jim). Entonces du = -dx.

También hay que convertir los límites de la integración. $x=0\Rightarrow u = 0, x=a\Rightarrow u = -a$ .

Y lo hemos hecho:

- $\int\limits_0^{-a}f(u)du = -(F(-a)-F(0)) = F(0)-F(-a) = \text{the first integral. There you have it.}$