Si $\phi(g)=g^3$ es un homomorphism y $3 \nmid |G|$, $G$ es abelian.

Question

Como el título sugiere. Deje $G$ ser un grupo, y suponga que la función de $\phi: G \to G$ $\phi(g)=g^3$ $g \in G$ es un homomorphism. Demostrar que si $3 \nmid |G|$, $G$ debe ser abelian.

Considerando $\ker(\phi)$ y del Teorema de Lagrange, tenemos $\phi$ debe ser un isomorfismo (¿verdad?), pero no estoy muy seguro de dónde ir después de eso.

Este es un problema de Alperin y de la Campana, y no es para hacer la tarea.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(gh)^3=\varphi(gh)=\varphi(g)\varphi(h)=g^3h^3$. Esto implica $ghghgh=ggghhh$, y por lo tanto, después de la cancelación, $hghg=gghh$ o $(hg)^2=g^2h^2$.

Yo reclamo que cada elemento conmuta con cada cuadrado en $G$. Deje $x\in G$ ser arbitraria, y deje $a^2\in G$ ser arbitraria de la plaza. Desde $\varphi$ es un automorphism (aquí es donde hemos utilizado el hecho de que $3\nmid |G|$), $x=\varphi(y)=y^3$ para algunos $y$. Entonces $$ ay^3a^{-1}=(aya^{-1})^3=\varphi(aya^{-1})=a^3y^3a^{-3} $$ lo que implica $y^3=a^2y^3a^{-2}$ o $y^3a^2=a^2y^3$. Es decir, $xa^2=a^2x$, y completa la demanda.

Así, en particular, $g^2h^2=h^2g^2$. Así, obtenemos $hghg=(hg)^2=g^2h^2=h^2g^2=hhgg$. La cancelación de los rendimientos $gh=hg$, lo $G$ es abelian.

Answer 2

$\phi$ es un isomoprhism, porque $g^{3} = 1 \iff g=1$ para el orden de $g\in G$ debe dividir el orden de $G$. Supongo que usted tiene que considerar $\phi (gh)$$\phi(hg)$. Si $\forall g, h\in G, \phi(gh)=\phi(hg)$, $ghg^{-1}h^{-1}\in ker\phi$ $gh=hg$ y ganó. Pero no muy segura de cómo hacerlo.