He leído el libro de Hartshorne Geometría algebraica del capítulo 1 al capítulo 4, por lo que me gustaría encontrar algunas sugerencias sobre el siguiente paso para estudiar la geometría aritmética.
Quiero saber cómo utilizar la teoría de esquemas y su cohomología para resolver problemas aritméticos.
También quiero aprender algo sobre la teoría de los módulos.
¿Podría recomendar algunos libros o documentos? Muchas gracias.
Mi sugerencia, si realmente ha trabajado a través de la mayor parte de Hartshorne, es comenzar a leer papeles, refiriéndose a otros libros como usted lo necesita.
Un lugar para empezar es el documento de Mazur "Eisenstein Ideal". La sugerencia de Cornell--Silverman también es buena. (Esto da esencialmente la prueba completa, debido a Faltings, de la conjetura de Tate para variedades abelianas sobre campos numéricos, y de la conjetura de Mordell). También se puede consultar el artículo original de Tate sobre la conjetura de Tate para variedades abelianas sobre campos finitos, que es una obra maestra.
Otra posibilidad es aprender cohomología etale (que tendrás que aprender de una forma u otra si quieres investigar en geometría aritmética). Para ello, mi sugerencia es que intentes trabajar con el primer artículo de Deligne sobre las conjeturas de Weil (en el que demuestra la hipótesis de Riemann), consultando los libros de texto sobre cohomología etale a medida que los necesites.
Si puede encontrar una copia (digamos, de la biblioteca) del libro de Cornell y Silverman Geometría aritmética Lo recomiendo encarecidamente. Es un tratamiento exhaustivo de la teoría aritmética de las variedades abelianas utilizando el lenguaje moderno de la teoría de esquemas. Lamentablemente, hoy en día es prácticamente imposible comprar una copia (suele haber una disponible en línea de algún vendedor oscuro por algo así como 950 dólares). También estoy de acuerdo con las recomendaciones anteriores de Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas . Construye la teoría de los esquemas desde cero (incluso desarrolla el álgebra conmutativa necesaria en el primer capítulo) y tiene un ojo puesto en las aplicaciones aritméticas en todo momento. En particular, el final del libro tiene un gran capítulo sobre la reducción de curvas. Si quiere un tratamiento de las curvas elípticas en extremo general (usando el lenguaje de esquemas) entonces podría estar interesado en el libro de Katz y Mazur Módulos aritméticos de las curvas elípticas. Sin embargo, recalco que este libro en particular es muy difícil (al menos para mí lo es).
Primero una disculpa: Esto es más un complemento a la respuesta de Charles que una respuesta en sí misma. Originalmente se trataba de un conjunto de comentarios, pero no pude formatearlos para que fueran legibles.
"Aritmética de las curvas elípticas" es especialmente recomendable para quienes quieran echar un primer vistazo a las aplicaciones aritméticas de la cohomología. El capítulo 8 demuestra el teorema de Mordell-Weil utilizando la cohomología de Galois. Sin embargo, casi todo en este libro es bueno y el único solapamiento con Hartshorne está en los dos primeros capítulos. Por algo es el libro canónico de las curvas elípticas.
"Puntos racionales en curvas elípticas" probablemente no sea tan emocionante para alguien que ya haya pasado por Hartshorne.
"Temas avanzados" es exactamente eso, pero quizás un poco más amigable que la mayoría de los libros de temas. Los capítulos son esencialmente independientes. De especial interés podría ser el capítulo sobre superficies elípticas, que ofrece un vistazo a los esquemas ℤ en (casi) toda su gloria.
Sólo he echado un vistazo a Hindry-Silverman, así que no podría decir mucho de ninguna manera.
"Una invitación a la geometría aritmética" para este lector serviría principalmente para destacar cómo la teoría algebraica de los números se cruza con la geometría aritmética, creo.
"Algebraic Geometry and Arithmetic Curves" es una referencia fantástica para la Geometría Aritmética, y hay bastante coincidencia con Hartshorne.
edit: Para los módulos de las curvas elípticas, el capítulo 1 (Formas modulares) de "Temas avanzados" es un buen lugar para empezar, y Katz-Mazur es un buen objetivo eventual. Entre esos dos, hay un montón de libros sobre formas modulares y espacios de módulos para llenar el vacío. Tengo debilidad por Diamond y Shurman, pero los trabajos originales de Shimura merecen un reconocimiento. Su experiencia puede variar.
"Algebraic Geometry and Arithmetic Curves" de Liu podría ser bueno, cubre mucho del mismo material, pero lo hace más aritméticamente.
También está "Una invitación a la geometría aritmética" de Lorenzini
Tampoco hay que descartar las "series" de Silverman: "Rational Points on Elliptic Curves" (con Tate), "Arithmetic of Elliptic Curves", "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves" y "Diophantine Geometry" con Hindry.
Además del mencionado libro de Cornell--Silverman hay otra colección de Cornell--Silverman (+Stevens) llamada "Modular forms and Fermat's last theorem" ( http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-98998-3 ), que recomiendo encarecidamente. Está disponible en edición de bolsillo.
El propósito del volumen es cubrir el material utilizado en la demostración del último teorema de Fermat. Por lo tanto, se cubre gran parte de la geometría aritmética a un nivel de posgrado razonable (aunque quizá algunos estudios más exigentes). Brian Conrad, de los comentarios anteriores, es responsable de un buen artículo en el volumen.
Me gusta especialmente el artículo de Tate sobre los esquemas de grupos finitos y el de Mazur sobre la teoría de la deformación de las representaciones de Galois.
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