Aquí está el Prob. 12, Sec. 5.2, en el libro Introducción al análisis real por Robert G. Bartle y Donald R. Sherbert, 4ª edición :
Una función $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se dice que aditivo si $f(x+y)= f(x) + f(y)$ para todos $x, y$ en $\mathbb{R}$ . Demostrar que si $f$ es continua en algún punto $x_0$ entonces es continua en cada punto de $\mathbb{R}$ .
Mi intento:
Dejemos que $c$ sea un número real arbitrario.
Supongamos primero que $x_0 = 0$ . Como $f$ es continua en el punto $0$ por lo que dado cualquier número real $\varepsilon > 0$ podemos encontrar un número real $\delta > 0$ tal que $$\lvert f(x) \rvert = \lvert f(x) - 0 \rvert = \lvert f(x) - f(0) \rvert < \varepsilon $$ para todos $x \in \mathbb{R}$ para lo cual $$ \lvert x \rvert = \lvert x-0 \rvert < \delta. $$ Entonces $$ \lvert f(x) - f(c) \rvert = \lvert f( x - c ) \rvert < \varepsilon $$ para todos $x \in \mathbb{R}$ tal que $$ \lvert x-c \rvert < \delta. $$ De ello se desprende que $f$ es continua en cada punto $c \in \mathbb{R}$ .
¿Estoy en lo cierto?
Supongamos ahora que $x_0 \neq 0$ . Como $f$ es continua en $x_0$ por lo que, para cada número real $\varepsilon > 0$ podemos encontrar un número real $\delta > 0$ tal que $$ \left\lvert f \left(x - x_0 \right) \right\rvert = \left\lvert f(x) - f \left( x_0 \right) \right\rvert < \varepsilon $$ para todos los números reales $x$ que satisfacen $$ \left\lvert x- x_0 \right\rvert < \delta. $$
Ahora bien, si pudiéramos demostrar desde aquí que $f$ es continua en $0$ Entonces, al igual que antes, habremos conseguido demostrar que $f$ es continua en todo número real $c$ .
¿Y ahora qué? Cómo proceder a partir de aquí para demostrar que nuestra función $f$ es continua en $0$ ? ¿O hay alguna otra vía?
