Es fácil ver que si un mapa $f:X \rightarrow Y$ es suryente entonces su suspensión $Sf:SX \rightarrow SY$ también es suryectiva, y como la suspensión preserva el grado, basta con construir un mapa $f:S^{1} \rightarrow S^{1}$ de grado cero y aplicar la suspensión repetida para obtener los mapas de $n > 1$ .
Estoy pensando en $S^{1}$ como si estuviera en $\mathbb{R}^{2}$ y proyectarlo primero en el $x$ -seguido de la identificación del límite del disco unidimensional resultante a un punto, llamé a estos mapas $p$ y $q$ respectivamente, por lo que $f=pq$ . Elegí el punto $y\in S^{1}$ que tiene el $f^{-1}(y)=\{x_{1},x_{2}\}$ como en mi foto. El grado de $f$ es la suma de los grados locales en $x_{1}$ y $x_{2}$ y el grado local será $\pm1$ ya que puede elegir los vecindarios de forma inteligente para obtener homeomorfismos locales en esos puntos.
Mi intuición me dice que estos grados locales deben tener signos opuestos porque si pensamos que el círculo está orientado en sentido contrario, los barrios que los rodean se proyectarán hacia abajo con orientaciones en direcciones opuestas.
¿Cómo puedo justificar que sus grados son "opuestos" o calcular realmente el grado?
