¿Alguien sabe cómo calcular analíticamente la siguiente integral?
$$\int\limits_{0}^{+\infty}\dfrac{x^2\mathrm{d}x}{e^{x}-1}$$
Debe ser igual a $2\zeta(3)$ según Maple. He probado lo siguiente utilizando el teorema del binomio para exponentes enteros negativos:
$$I = \int\limits^{+\infty}_{0} e^{-x}(1-e^{-x})^{-1}x^2\mathrm{d}x = \int\limits^{+\infty}_{0}\left[\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k(-1)^ke^{-(k+1)x}\right]x^2\mathrm{d}x=\int\limits^{+\infty}_{0}\left[\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{2k}e^{-(k+1)x}\right]x^2\mathrm{d}x$$
Después de otro cambio de variables, $y=(k+1)x$ :
$$I = \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{2k} \frac{1}{(k+1)^3}\int\limits_0^{+\infty} y^2e^{-y}\mathrm{d}y$$
El ojo agudo podría reconocer $\int\limits_0^{+\infty} y^2e^{-y}\mathrm{d}y$ como la función gamma, $\Gamma(3)=(3-1)!=2$ . Esto, junto con un ligero empujón al límite inferior de la suma podemos reescribir las cosas como:
$$I = \Gamma(3)\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{2k}}{k^3}$$
Y veo inmediatamente (desde el principio de hecho...) una suma infinita que me da problemas y de la que no me puedo librar. Intenté encontrar si hice algún error trivial pero me estoy concentrando desde hace muchas horas para encontrarlo. Por eso necesito un punto de vista externo que me indique mi error obvio.
Gracias de antemano por su ayuda
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En lugar de utilizar trucos para emular el modo matemático visualizado (
\limitsy\dfrac), simplemente utilice modelo matemático visualizado mediante$$en lugar de$. Intente también que el título sea descriptivo y evite abreviaturas como "gracias", ya que aquí no se paga por letra.0 votos
Sólo para estar seguros, ¿sabes cómo justificar que $\int_0^\infty x^2\sum_{n\ge 1} e^{-nx}dx=\sum_{n\ge 1}\int_0^\infty x^2 e^{-nx}dx$ ? De ello se deduce que $\lim_{N\to \infty}\int_0^\infty x^2\frac{e^{-Nx}}{e^x-1}dx=0$ .