Es, $\frac{d f}{d z}\frac{\partial z}{\partial \theta}=\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \theta}$ ?

Question

Dejemos que $f(z)= P(r,\theta)+iQ(r,\theta)$

$$z=x+iy=re^{i\theta}$$

entonces,

$$\frac{\partial f}{\partial \theta}={\frac{d f}{d z}}{\frac{\partial z}{\partial \theta}}$$

Es, $\dfrac{d f}{d z}\dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{\partial z}{\partial \theta}$

¿Qué hace $\dfrac{d f}{d z} \dfrac{\partial z}{\partial \theta}$ ¿quieres decir?

Answer 1

Creo que la educación matemática es la culpable de engañar a la gente con que la forma en que se escriben las cosas es más importante que lo que realmente significa. Una vez fui víctima de este tipo de ignorancia.

Hay dos maneras de interpretar $\frac d{dx}$ . La forma algebraica es la que suelen entender los estudiantes que se inician en el cálculo. Como ejemplo, digamos que $f(x) = x^2 + x$ . Entonces $\frac{df(x)}{dx}$ tiene el siguiente significado

\begin{align} \frac{df(x)}{dx} & = \frac{d(x^2 + x)}{dx} & & \text{by substituting the expression $f(x)$}\\ & = 2x + 1 & & \text{by the algebraic rule of differentiation}. \end{align}

$f(x) = x^2 + x$ aquí se ve como una "fórmula". Es decir, una vez que el símbolo " $x$ " se suministra a $f$ , se obtiene una expresión " $x^2 + x$ ". Entonces, $\frac{d}{dx}$ opera sobre la expresión $x^2 + x$ . El símbolo $x$ es importante, ya que si calculamos $\frac{df(x)}{dy}$ el resultado debería ser $0$ .

Otra forma de interpretar $\frac d{dx}$ es analítica. Significado $f$ se define como una función, digamos de $\mathbb R \to \mathbb R$ (el dominio no es muy importante aquí), tal que para cualquier número real $x$ , $f(x)$ es otro número real igual a $x^2 + x$ donde el cuadrado y la suma de números reales tienen su significado habitual. Utilizamos la misma expresión para describir $f$ : " $f(x) = x^2 + x$ ". Esta definición de $f$ no es una definición de una "fórmula", sino una definición de una "función". Entonces, $g = \frac{df}{dx}$ se define como una función de $\mathbb R$ à $\mathbb R$ a través de la operación límite: $g(x) = \lim_{\tilde x \to x}\frac{f(\tilde x) - f(x)}{\tilde x - x}$ . Tenga en cuenta que el símbolo $x$ en $\frac{d}{dx}$ en realidad no es importante allí, ya que la expresión " $f(y) = y^2 + y$ " definiría la misma función $f$ .

Una notación más precisa para la interpretación analítica debería ser simplemente $Df$ en lugar de $\frac{df}{dx}$ porque insistir en el uso del símbolo $dx$ puede contradecir la interpretación algebraica en algunos casos. Como ejemplo, digamos que definimos $f$ por $f(y) = y^2 + y$ . ¿Qué es lo que $\frac{df(z)}{dx}$ ¿se? La interpretación algebraica daría $0$ porque no hay apariencia de $x$ en la fórmula $f(z)$ . La interpretación analítica, sin embargo, daría una función definida por $\xi \mapsto 2\xi + 1$ . (Acabo de elegir un símbolo arbitrario $\xi$ para una variable ficticia). No obstante, los buenos autores evitarán por completo esta situación. Esto significa que nunca escribirán algo como $\frac{df(y)}{dx}$ a menos que $y$ también es una función de una variable. Además, la definición de $y$ implicaría $x$ como variable ficticia, y no otros símbolos.

El problema es que la mayoría de los cursos de introducción al cálculo comienzan con la definición analítica, pero luego fomentan la interpretación algebraica. Algunos incluso enseñan notación como $$ (x^n)' = nx^{n-1}, $$ lo que es correcto algebraicamente pero no tiene sentido en el sentido analítico estricto. Sin embargo, esto es aceptable para la mayoría de los matemáticos. Una forma de ver esta ecuación como significativa analíticamente es aceptar el siguiente abuso de notación: $x^n$ significa en realidad una función definida por $x \mapsto x^n$ . Escrita en su totalidad, la ecuación anterior significa $$ D(x \mapsto x^n) = (x \mapsto nx^{n-1}) $$ donde acordamos de antemano que la notación " $x \mapsto \ldots$ "es una función de $\mathbb R$ à $\mathbb R$ . T $D$ toma una función y escupe una función. Una forma equivalente de decir lo mismo es $$ D(x \mapsto x^n)(y) = ny^{n-1}. $$ $y$ es una variable ficticia que se elige diferente de $x$ para evitar confusiones con $x$ .

Volviendo a la pregunta original, escribir $z = re^{i\theta}$ significa $z: \mathbb R^2 \to \mathbb C$ es una función de valor complejo de dos variables reales. Más formalmente, $z$ se define, como función, por

$$ z(r, \theta) = re^{i\theta}. $$

La afirmación de que $f(z) = P(r, \theta) + iQ(r, \theta)$ en realidad significa

$$ (f \circ z)(r, \theta) = P(r, \theta) + iQ(r, \theta). $$

El abuso de la notación aquí es $\frac{\partial f}{\partial\theta} = D_2(f \circ z)$ , donde $D_2$ se define como el operador de la derivada parcial en el segundo parámetro. Más concretamente, para cualquier función $g$ de dos variables,

$$ (D_2g)(x, y) = \lim_{\tilde y \to y}\frac{g(x, \tilde y) - g(x, y)}{\tilde y - y}. $$ $x$ y $y$ son variables ficticias. Puedo sustituirlas por cualquier símbolo, como $r$ y $\theta$ .

La regla de la cadena dice que $$ D_2(f \circ z)(x, y) = Df(z(x, y)) \cdot (D_2z)(x, y) $$ Esto se traduce en la notación perezosa como $$ \frac{\partial f}{\partial\theta} = \frac{df}{dz} \cdot \frac{\partial z}{\partial\theta}. $$ El símbolo $\frac{\partial f}{\partial z}$ podría considerarse lo mismo que $\frac{df}{dz}$ en la notación perezosa porque $f$ es una función de una sola variable. Sin embargo, cuando $f$ es una función de una sola variable, es bastante inusual utilizar $\partial$ en lugar de $d$ .