f ◦ f = f. Demuestre que el conjunto S = {x ∈ [0, 1] : f (x) = x} es un intervalo cerrado y acotado en [0,1]

Question

Sea f : [0, 1] [0, 1] una función continua.

(a) Demuestre que f tiene un punto fijo, es decir, que existe un punto c [0,1] tal que f(c) = c.

(b) Supongamos además que f f = f . Demuestre que el conjunto S = {x [0, 1] : f (x) = x} es un cerrado y acotado en [0,1], es decir, S = [a,b] para algún 0 a b 1.

Para la primera parte ya he trabajado utilizando el Teorema del Valor Intermedio.

Es decir, dejemos que h(x) = f(x) - x, y luego introduzcamos h(1) y h(0).

Sin embargo, para la segunda parte de la pregunta parece que no he encontrado argumentos adecuados al respecto.

Answer 1

Definición de $h:[0,1]\to\mathbb{R}$ por $h(x)=f(x)-x$ tenemos $$S=h^{-1}(\{0\}), $$ y como $h$ es continua, $S$ está cerrado. Como $S\subset[0,1]$ también está acotado.

Ahora, supongamos que $f\circ f=f$ . Tome $x\in[0,1]$ y establecer $y=f(x)$ . Entonces, $$f(y)=f(f(x))=f(x)=y,$$ así que $y=f(x)\in S$ para cada $x\in[0,1]$ . De ello se desprende que $f([0,1])\subset S$ . Por el contrario, si $y\in S$ entonces $y=f(y)\in f([0,1])$ . Por lo tanto, $$ f([0,1])=S.$$ Desde $f$ es continua, $f([0,1])=S$ está conectado. Como todo subconjunto cerrado y conexo de $\mathbb{R}$ es un intervalo cerrado, obtenemos el resultado deseado.