Anillos con reducciones de términos primarios

Question

Esta pregunta es una continuación de este .

Digamos que un término de reducción de un anillo $\mathcal{R}=(R; +,\times,0,1)$ es un magma $\mathcal{M}$ cuyo dominio es $R$ y cuyo funcionamiento del magma es $(x,y)\mapsto t(x,y)$ para algún término (sin parámetros, de dos variables) en el lenguaje de los anillos (denote este magma por " $\mathcal{R}_t$ "). Por ejemplo, si $\mathcal{S}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $u(x,y)=(x+1)(y+1)$ entonces $\mathcal{S}_u$ es isomorfo al magma con dominio $\{0,1\}$ y funcionamiento $(x,y)\mapsto \max\{1-x,1-y\}$ .

Estoy interesado en el número de términos, o al menos de términos unarios, de reducciones de términos de anillos. Específicamente:

• Un álgebra es primal si cada función en el álgebra está representada por un término.

• Un álgebra es rico en unarios si toda función unaria en el álgebra está representada por un término.

Por ejemplo, el $\mathcal{S}_u$ arriba es unario (y creo que primario, pero no estoy seguro de ello).

Mi pregunta es:

¿Qué anillos tienen reducciones de términos primarios (o al menos ricos en unarios)?

Incluso el $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ s parecen no ser triviales aquí. Nótese que ningún magma con más de un elemento que tenga un idempotente puede ser rico en unarios, por lo que tenemos que buscar términos más complicados que sólo $+$ o $\times$ .

Answer 1

Eran ha señalado que los únicos candidatos son los anillos de la forma $\mathbb Z_p$ . Cada uno de estos anillos tiene un reducto de magma primario:

La operación $$ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline * & 0 & 1 & \cdots & n-2 & n-1\\ \hline \hline 0 & 1 & 0 & \cdots &0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 2& &0 & 0\\ \hline \vdots & \vdots & & & & \\ \hline n-2& 0 & 0 & & n-1 & 0\\ \hline n-1& 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \hline \end{array} $$ definido por $x*y=0$ si $x\neq y$ y $x*x = x+1 \pmod{n}$ es una operación de Sheffer sobre $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ . Utilizando la interpolación de Lagrange, se puede demostrar que es una función de término de $\mathbb Z_n$ si $n$ es primo. (Lo único que se necesita para que la interpolación de Lagrange funcione es que $\mathbb Z_n=\mathbb Z_p$ es un campo y que cada elemento de $\mathbb Z_p$ es la interpretación de un término nulo).