Cómo resolver $x^2y'+xy+x^2y^2=4$

Question

Tengo un problema y no soy capaz de resolverlo. Necesito una pista sobre qué tipo de método debo utilizar para esta ecuación. Gracias.

$$x^2y'+xy+x^2y^2=4$$

Answer 1

$\textbf{Hint}$ $$ v = yx\implies y' = \frac{v'}{x} - \frac{v}{x^2} $$

Answer 2

Es una ecuación de Ricatti. Intenta sustituir $y=Q\frac{w'}{w}$ la recogida $Q$ tal que los dos términos con $\frac{(w')^2}{w^2}$ cancelar. (La ecuación resultante será lineal y homogénea de segundo orden)

Saber esto es útil porque cuando se tiene una ecuación de la forma

$$Ay'+By^2+Cy+D=0$$

donde todo es una función, esta sustitución siempre da una ecuación lineal homogénea de segundo orden.