Maximización del valor esperado (probabilidad) con la distribución binomial

Question

Necesito resolver un problema de optimización que implica un valor esperado como $$F(n,x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k(1 - p)^{n - k} f(k,x).$$

Aquí $f(k,x)$ es en realidad una probabilidad procedente de una distribución normal. Y lo que necesito, en concreto, es resolver una condición de primer orden que implica la derivada de $F$ con respecto a $x$ . Numéricamente está bien, pero me preguntaba cómo podría obtener una forma analítica agradable. He probado varias cosas, como sustituir $f(k,x)$ con otras distribuciones de tipo normal, pero ninguna funcionó.

Necesito esto para mostrar algunas propiedades asintóticas, por lo que podría utilizar una solución que considere el caso cuando $n\rightarrow\infty$ . Además, las aproximaciones son igualmente bienvenidas.

Actualización sobre el primer comentario:

Puedo simplificar $f$ de la siguiente manera. $$f(k,x)= \Pr[y\geq Ak+B(n-k)+Cx] \text{ where } y\sim N(n,\sigma).$$

Y quiero resolver

$$\max qF(n,x)+(1-q)G(n,x)$$

con respecto a $x$ donde $q\in(0,1)$ y $$G(n,x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k(1 - p)^{n - k} g(k,x)$$ con $$g(k,x)=\Pr[y'\leq Ak+B(n-k)+Cx] \text{ where } y'\sim N(-n,\sigma).$$

Tras un comentario: $p\in(0,1)$ y $A,B,C\in\mathbb R_{++}$ .