Problema de optimización del consumidor

Question

Un cliente tiene que decidir cuántos productos $x$ y $y$ para comprar. El precio de $x$ es $2x^{1/2}$ y el precio de $y$ es $4y^{1/2}$ . El coste de $x$ es de 10 dólares y el coste de $y$ es de 5 dólares. El cliente desea gastar un total de 90 dólares por ambos $x$ y $y$ . ¿Cuántas unidades de $y$ ¿debe comprar?

Empecé con $10x + 5y = 90$ con $y=18 - 2x$ y diferenciando tiene $\frac{1}{x^{1/2}} /4(18-2x)^{1/2} =10/5$ pero estoy perdido después de eso.

Answer 1

Su redacción parece indicar que la función de utilidad del consumidor es puramente aditiva en los dos componentes, es decir, que puede expresarse como $$U(x,y)=2x^{0.5}+4y^{0.5}.$$

El utilidad marginal de consumir una unidad adicional de $x$ es $x^{-0.5}$ y la utilidad marginal de consumir una unidad adicional de $y$ es $2y^{-0.5}$ . Es decir, las utilidades marginales son siempre positivas para cantidades de $x$ y $y$ aunque disminuyen las cantidades consumidas. Obsérvese que, con un ligero abuso de la notación, estoy dejando que " $x$ " denotan tanto el producto en sí como la cantidad negociada.

No se indica explícitamente en su publicación, pero se asume como cierto que las compras deben ser no negativas, es decir, $x\ge 0$ y $y\ge 0$ . (En finanzas matemáticas, llamaríamos a esto una "condición de no venta en corto"...)

Además, se nos dice que cada unidad de $x$ costes dos veces tanto como una unidad de $y$ . Por último, para que este problema se pueda tratar mediante el cálculo, supondremos que los bienes son infinitamente divisibles.

Intuitivamente, porque cada unidad de $y$ produce el doble de utilidad (a igualdad de cantidades) y cuesta sólo la mitad que una unidad de $x$ deberíamos esperar que el consumidor optimizador consuma mucho más unidades de $y$ que de $x$ . Sin embargo, como la utilidad marginal es decreciente en la cantidad consumida, el consumidor optimizador seguirá queriendo consumir una cantidad no nula de $x$ . (Aside: Mostrar que en $x=0$ el utilidad marginal de $x$ es infinito. Por lo tanto, $x=0$ no puede ser óptimo).

¿Cuánto? de $x$ y $y$ ¿debe comprar el consumidor? El consumidor busca maximizar la utilidad obtenida por cada dólar extra que gasta. (Esto se deduce del principio de maximización de la utilidad que se ha supuesto.) Como puede comprar 2 unidades de $y$ por el coste de una unidad de $x$ una condición de primer orden para la asignación óptima del dólar marginal gastado es que la utilidad marginal recibida de una unidad adicional de $y$ debe ser medio la utilidad marginal recibida por una unidad adicional de $x$ . Esto asegura que la utilidad marginal de gastar un dólar extra en cualquiera de los dos $x$ o $y$ es igual. ¿Por qué? Utiliza un poco de cálculo... (Vale, también tendrás que comprobar la condición de segundo orden, para verificar que la utilidad se maximiza en lugar de minimizarse en el punto donde se cumple la condición de primer orden. Afortunadamente, esto es muy fácil de hacer, ya que las segundas derivadas de la función de utilidad son positivas en todas partes para $x>0$ y $y>0$ .)

Para la función de utilidad de este ejemplo, debemos resolver

$$\frac{1}{2}=\frac{dU/dx}{dU/dy}=\frac{1/x^{0.5}}{2/y^{0.5}}.$$

Es decir, la utilidad se maximiza para $y/x=4^2=16$ es decir, a lo largo de la línea $y=16x$ . Esta línea se cruza con la línea de restricción presupuestaria $10x+5y=90$ en $$x^*=1\text{ and } y^*=16.$$

Answer 2

Si le he entendido bien, su problema consiste en dos afirmaciones: $$ 90$ = 5 $\cdot y + 10$ \cdot x $$ and $$ f(x,y) = 4\corrente de {y} + 2\corrente de x . $$ $f$ es el valor que se obtiene de los productos comprados. Resuelve la primera ecuación para $x$ e insertar el resultado en la segunda ecuación. Ahora obtenemos $f$ por $y$ y buscar un máximo de $f$ :

$$ \dfrac{df}{dy} = 0 $$

Lo que resulta en $y = 16$ y $x =1$ .