Función valor matriz que implica un límite superior

Question

En el siguiente $\mathbf R^{2\times 2}$ denota el espacio lineal de matrices reales de $2\times 2$ y $\|\cdot \|$ denota una norma arbitraria en $\mathbf R^2$. Además, $\langle R(x), y\rangle$ representa la evaluación de $R(x)$ en $y$ (producto de matriz-vector).

$\textbf{1.}$ Sea $C=\mathbf R^2$. ¿Es posible encontrar una función de valores matriciales $R:\mathbf R^2 \to \mathbf R^{2\times 2}$ tal que para todo $x,y\in C$ con $$\langle R(x),y\rangle - \langle R(x),x\rangle \notin - \operatorname{int} \mathbf R_+^2,$$ exista una constante positiva $L$ (que dependa únicamente de $y$) tal que $\|x\| \leq L \|y\|$?

$\textbf{2.}$ ¿Qué otras suposiciones necesitamos sobre $R$ para obtener esa relación en la primera pregunta?

$\textbf{3.}$ ¿Podemos reemplazar $C$ en la pregunta 1 por otro conjunto no acotado de manera que se cumpla la implicación?

Answer 1

Probablemente desee poner más restricciones en las propiedades precisas. De lo contrario, hay una solución muy simple con $L=1$ (a menos que haya malentendido algo):

Sea $e= (1,1)\in{\rm int}\; {\Bbb R}_+^2 $ y defina $R(x)u = e (x^T u)$

Entonces $R(x)(y-x) \notin -{\rm int} \;{\Bbb R}_+^2 $ si y solo si $x^T (y-x)\geq 0$ lo cual a su vez implica $|x|\leq |y|$.

Q2. Dado que Q1 era posible, ¿supongo que esto se vuelve obsoleto?

Q3: Obviamente funciona en cualquier dimensión.