Supongamos que un espacio $X$ se obtiene a partir de un espacio conectado a la trayectoria $Y$ adjuntando $n$ celda ( $n \geq 3$ Demostrar que $\pi_1(X) \cong \pi_1(Y)$ .
Estoy intentando utilizar el teorema de Van Kampen para demostrarlo, pero no consigo escribirlo con claridad. ¿Podría alguien dar alguna idea para demostrarlo?
Por lo general, "adjuntar" significa que la célula $C$ se cruza con $X$ sobre algún conjunto bien comportado, por ejemplo el singleton $\{c\}$ . Procedemos bajo ese supuesto.
Tenemos los dos mapas de inclusión $f : \{c\} \to X$ y $g \colon \{c\} \to C$ .
También tenemos tres grupos fundamentales $\pi(X), \pi(C)$ y $\pi(\{c\})$ .
Ejercicio: Los grupos $\pi(C)$ y $\pi(\{c\})$ son especialmente sencillas. ¿Qué aspecto tienen?
Los dos mapas inducen homomorfismos entre grupos fundamentales (con los mismos nombres).
$f : \pi(\{c\}) \to \pi(X)$ y $g : \pi(\{c\}) \to \pi(C)$
Ejercicio: ¿Qué aspecto tienen estos homomorfismos?
El teorema de van Kampen dice que una vez que sabemos cuáles son los tres grupos y los dos homomorfismos, ¡podemos olvidarnos por completo de la topología!
Lo único que nos tiene que preocupar es el diagrama de mapeo $\pi(X) \leftarrow \pi(\{c\}) \to \pi(C)$ .
El teorema dice $\pi(X \cup C) = \pi(Y)$ es el pushout de ese diagrama. La definición del pushout es bastante larga, y el cálculo de los pushouts particulares suele ser aún más largo.
Ejercicio: Pero en este caso los grupos y homomorfismos (ver ejercicios anteriores) son lo suficientemente sencillos como para que el pushout sólo pueda ser $\pi(X)$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
