Comportamiento de las funciones asintóticamente equivalentes tras la exponenciación iterativa

Question

A efectos de la pregunta, defina $\exp^n x$ como el $n$ veces la iteración de $\exp$ (por ejemplo $\exp^2 x = \exp \exp x$ ) para $n\geq1$ y $\exp^0 x = x$ .

Dejemos que $f,g:\mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R}_{>0}$ tal que $f,g$ son estrictamente crecientes y no tienen límite por encima. Si para todo $n \geq 0$ ,

$$\exp^n f(x) \sim \exp^n g(x) ,\ \ x \to +\infty $$

¿se deduce que $f(x) = g(x)$ para un tamaño suficientemente grande $x$ ? Si es así, ¿se pueden debilitar las hipótesis? Si no es así, ¿hay hipótesis que puedan añadirse (por ejemplo, la continuidad)?

La motivación es la siguiente: aunque $f \sim g$ como $x \to +\infty$ , $f$ y $g$ no son realmente equivalentes en el sentido de que para cualquier función de buen comportamiento $h$ no necesariamente tenemos $h \circ f \sim h \circ g$ en $+\infty$ .

Por ejemplo, si $f \sim g$ pero $|f - g|$ no llega a cero como $x \to +\infty$ , $\exp f$ no es $\sim \exp g$ .

Por lo tanto, las funciones "altamente" equivalentes que satisfacen las hipótesis deben tener diferencias que tienden a $0$ . Sin embargo, eso no es suficiente. Por ejemplo, $f(x) = x$ , $g(x) = x + \frac 1x$ falla por $n=2$ .

Answer 1

Esto no es cierto; se pueden construir contraejemplos diagonalizando. He aquí una forma concreta de hacerlo. En primer lugar, observe que para cualquier $n$ existe $\delta_n\in(0,1)$ de manera que si $x\in[n,n+1]$ entonces $\exp^m(x+\delta_n)-\exp^m(x)<1$ para todos $m\leq n$ (esto se deduce de la continuidad uniforme de las funciones $\exp^m$ en el conjunto compacto $[n,n+2]$ ). Ahora toma $f(x)=x$ y definir $g(n)=n+\delta_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ e interpolar $g$ linealmente para argumentos no enteros. Entonces tenemos $\exp^n(g(x))-\exp^n(f(x))<1$ siempre que $x\geq n$ . De ello se desprende que $\exp^n(g(x))\sim\exp^n(f(x))$ para todos $n$ . Pero $g(x)>f(x)$ para todos $x$ ya que cada $\delta_n$ es positivo.

De manera más general, dado cualquier $f(x)$ se puede construir de forma similar un contraejemplo $g(x)$ organizando de manera que en $[n,n+1]$ , $\exp^m(g(x))\in(\exp^m(f(x)),\exp^m(f(x))+1]$ para todos $m\leq n$ .