Sumas de cuadrados únicos

Question

Dejemos que $\mathbb{N}$ denotan los números enteros positivos y que $S = \{n^2: n\in \mathbb{N}\}$ . Para cualquier número entero positivo $k$ definimos $$\text{sq}(k) = |\{F\subseteq S: F\neq \emptyset, F\text{ is finite and } k = \sum_{n\in F} n\}|.$$

Preguntas:

1. ¿Es la función $\text{sq}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup\{0\}$ ¿subjetivo?
2. ¿Existe $m_0>1$ tal que $\text{sq}^{-1}(\{m\})$ es infinito para todo $m\geq m_0$ ?

Answer 1

La función generadora es $$ \sum_{n\geq 0} \text{sq}(n) z^n = \prod_{k\geq 1} (1+z^{k^2}). $$ Utilizando la integración compleja se puede obtener una fórmula asintótica para $\text{sq}(n)$ . Esto implica bastante trabajo, pero el camino está bien descrito en Andrews, The theory of partitions, capítulo 6. Se llega a algo así como $\text{sq}(n)\sim e^{n^{1/3}}$ veces algunos términos menores, por lo tanto $\text{sq}$ está aumentando en última instancia a un ritmo bastante rápido. En particular, $\text{sq}(n)$ no es sobreyectiva. Para $\text{sq}^{-1}$ se puede derivar una serie asintótica o calcular la proporción de todas las particiones que no contienen el sumando $1^2$ para encontrar que $\text{sq}$ es estrictamente creciente a partir de algún punto. Por lo tanto, lo más probable es que se obtenga que $\text{sq}^{-1}(\{m\})$ es infinito si y sólo si $m=1$ .