$3D$ figura con grupo de rotación isomorfo a $D_3$

Question

Al considerar las figuras planas, los grupos de simetría diédrica se dan con aquellas figuras que incluyen simetrías de inversión de orientación. Me resulta ligeramente curioso que estos mismos grupos aparezcan justo como grupos de rotación de $3D$ cifras. ¿Cuál es un ejemplo de $3D$ figura con grupo de rotación isomorfo al grupo de simetrías de un triángulo equilátero?

Answer 1

Si tomas un triángulo equilátero como base de un prisma (recto), éste tendrá las simetrías correspondientes a cada simetría del triángulo original, y todas serán rotaciones.

Ciertamente, cualquier simetría rotacional del triángulo es también una simetría del prisma.

Para conseguir las anteriores reflexiones como rotaciones, imaginemos que nuestro prisma se sitúa con

• una copia $T$ del triángulo original en el $xy$ -y un

• versión con desplazamiento vertical $T'$ en el plano $z = 1$ y otra copia desplazada verticalmente $T''$ en el plano $z = -1$ .

• Digamos que $A, B$ y $C$ son los vértices de $T$ con los "primos" adecuados para los vértices correspondientes de $T'$ y $T''$ .

Para obtener la rotación del prisma que corresponde a la reflexión intercambiando vértices $A$ y $B$ de $T$ utilice el segmento de línea que une $C$ y el punto medio de la arista $\overline{AB}$ como eje de rotación. En notación de ciclos, se trata de la permutación $(A'B'')(B'A'')(C'C'')$ de los vértices del prisma.

Para ver el isomorfismo con el grupo de simetría original del triángulo, observe que estas simetrías rotacionales del prisma permutan los vértices de $T$ .