Contar la medida es sólo una suma.
Para ver esto, se puede enfocar desde varios ángulos diferentes; qué tal si consideramos el Teorema de Convergencia Monótona. Para ello, para $n\in\mathbb{N}$ , defina $f_n:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ por $$ f_n(k)=\begin{cases}f(k) & \text{if }1\leq k\leq n\\ 0 & \text{else}\end{cases}. $$ Entonces, claramente, como $n\to\infty$ , $f_n\to f$ puntualmente; también es monótona creciente, porque $f(k)\geq0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ . Entonces, por el MCT, $$ \int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\text{ as }n\to\infty. $$ Ahora, considere estos $f_n$ . Obsérvese que podemos escribir $$ \mathbb{N}=\{1\}\cup\{2\}\cup\cdots\cup\{n\}\cup\{n+1,n+2,\ldots\}, $$ y que estos conjuntos son todos medibles. Entonces, $$ \begin{align*} \int f_n\,d\mu&=\int_{\{1\}}f_n\,d\mu+\cdots+\int_{\{n\}}f_n\,d\mu+\int_{\{n+1,n+2,\ldots\}}f_n\,d\mu\\ &=\int_{\{1\}}f_n(1)\,d\mu+\cdots+\int_{\{n\}}f_n(n)\,d\mu+\int_{\{n+1,n+2,\ldots\}}0\,d\mu, \end{align*} $$ donde hemos utilizado que $f_n$ es constante en cada uno de estos conjuntos, por definición. Así, vemos que $$ \int f_n\,d\mu=1\cdot f_n(1)+1\cdots f_n(2)+\cdots+1\cdot f_n(n)+0=f(1)+\cdots+f(n). $$ Así que, tenemos que $$ \int f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\lim_{n\to\infty}(f(1)+\cdots+f(n))=\sum_{k=1}^{\infty}f(k). $$ La acotación no tiene importancia en este caso -- ya que nuestros términos son no negativos, la serie converge o diverge a $\infty$ ; en cualquier caso, la integral es exactamente la suma.
