Pullback de la gavilla ideal que define la inmersión cerrada

Question

Dejemos que $Z\to X$ sea una inmersión cerrada con una gavilla ideal $\mathcal{I}$ . Para mí la secuencia exacta $0\to\mathcal{I}\to \mathcal{O}_X\to i_*\mathcal{O}_Z\to 0$ dice que las funciones en $\mathcal{I}$ son precisamente aquellas funciones que se desvanecen cuando las retiramos a lo largo de $Z\to X$ . Basándose en esta interpretación, yo esperaría que $i^*\mathcal{I}=0$ ya que retiramos funciones que desaparecen cuando las retiramos.

Sin embargo, $i^*\mathcal{I}$ es en realidad la gavilla conormal, y por lo tanto no es cero. Puedo hacer cálculos para ver que $i^*\mathcal{I}$ es efectivamente la gavilla conormal en el sentido de que las dimensiones de las fibras son efectivamente la codimensión de $Z$ en $X$ Así que funciona.

Lo que no entiendo es por qué falla mi primer razonamiento. Falla porque no es cierto, pero sugiere que no estoy pensando en la secuencia exacta de la gavilla ideal de manera correcta. Así que espero que alguien pueda señalar el fallo en el primer razonamiento.

Answer 1

El problema es que cuando se forma $i^*\mathcal{I}$ , sólo estás considerando $\mathcal{I}$ como una gavilla por sí sola y no sabe cómo se incrusta en $\mathcal{O}_X$ . Su argumento muestra la imagen del mapa canónico $i^*\mathcal{I}\to i^*\mathcal{O}_X$ es $0$ pero ese mapa canónico puede no ser inyectivo y por tanto esto no implica $i^*\mathcal{I}=0$ .

Resulta esclarecedor considerar un ejemplo concreto. Dejemos que $X=\mathbb{A}^1$ y $Z=\{0\}$ por lo que en las secciones globales tenemos $\mathcal{O}_X=k[x]$ y $\mathcal{I}=(x)$ . El functor de retroceso $i^*$ es entonces $k \otimes_{k[x]}-$ donde $k=k[x]/(x)$ es un $k[x]$ -módulo dejando que $x$ actuar de forma trivial. Pero fíjese que como $k[x]$ -módulo, $(x)$ es isomorfo a $k[x]$ mismo, ya que es generado libremente por $x$ . Así que $k\otimes_{k[x]} (x)$ es isomorfo a $k\otimes_{k[x]}k[x]$ y en particular no es $0$ aunque el mapa inducido $k\otimes_{k[x]}(x)\to k\otimes_{k[x]}k[x]$ es $0$ .

Su argumento quiere decir que $(x)$ debe convertirse en $0$ cuando se tensa con $k$ Ya que estás modificando $x$ y cada elemento de $(x)$ es divisible por $x$ . Pero no todos los elementos de $(x)$ es divisible por $x$ en el módulo $(x)$ En cambio, eso sólo es cierto si se considera $(x)$ como sentarse en el interior $k[x]$ . En términos geométricos, en este caso $\mathcal{I}$ es sólo un paquete de líneas en $X$ (de hecho, un haz de líneas trivial), por lo que su pullback a cualquier subesquema $Z$ será de nuevo un haz de líneas en $Z$ no $0$ . El hecho de que $\mathcal{I}$ consiste en funciones que desaparecen en $Z$ no es una propiedad intrínseca de la gavilla $\mathcal{I}$ sino una propiedad de la incrustación $\mathcal{I}\to\mathcal{O}_X$ .

En última instancia, en términos algebraicos, esto no es más que el hecho de que los productos tensoriales no son exactos a la izquierda (es decir, no todos los módulos son planos), si lo encuentras útil.