Derivada direccional de primer orden en 2 dimensiones $xy$ -El sistema de coorinación es $$D_{\bf{u}}=u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}$$ Pensé en ir más allá y analizar las derivadas direccionales de segundo orden. La fórmula para la general
la derivada direccional mixta de segundo orden es $$ D^2_{\bf{u}\bf{v}}=D_{\bf{v}}\left[u_1\frac{\partial}{\partial x}+u_2\frac{\partial}{\partial y}\right]=u_1D_{\bf{v}}\frac{\partial}{\partial x}+u_2D_{\bf{v}}\frac{\partial}{\partial y}=$$
$$=u_1(v_1\frac{\partial^2}{\partial x^2}+v_2\frac{\partial^2}{\partial y\partial x})+u_2(v_1\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+v_2\frac{\partial^2}{\partial y^2})=$$
$$=u_1v_1\frac{\partial^2}{\partial x^2}+u_1v_2\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}+u_2v_1\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+u_2v_2\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$ Veo que la fórmula que obtenemos tiene definitivamente algo que ver con las dos matrices siguientes: $$U=\left[\matrix{u_1v_1 && u_1v_2\\ u_2v_1 && u_2v_2}\right]$$ $$H=\left[\matrix{\frac{\partial^2}{\partial x^2} && \frac{\partial^2}{\partial x\partial y} \\ \frac{\partial^2}{\partial y\partial x} && \frac{\partial^2}{\partial y^2}}\right]$$ Donde el segundo de ellos se conoce como el operador hessiano en la dimensión 2 $xy$ -Avión.
¿Hay algún maestro de álgebra matricial, que encuentre cómo expresar $D_{\bf{u}\bf{v}}$ en términos de $U$ y $H$ ?
Si hubiéramos definido una operación como $$\left[\matrix{a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22}}\right]* \left[\matrix{b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22}}\right]=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}$$ $$A*B=\sum_{i, j} A_{ij}B_{ij},$$ entonces la fórmula de la derivada mixta direccional de 2º orden sería $$D_{\bf{u}\bf{v}}=U^T*H$$ Alguna idea de cómo expresar el $*$ utilizando operaciones estándar sobre matrices?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No estoy seguro de si esto es exactamente lo que estás buscando, pero si escribimos $\mathbf u=\begin{bmatrix} u_1\\u_2\end{bmatrix},\ \mathbf v=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\end{bmatrix}$ entonces la fórmula se convierte en $$D^2_{\bf{u}\bf{v}} = \mathbf v^T\mathbf H\mathbf u$$ Escribamos $$\begin{align} f_{11}&=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\\ f_{12}&=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\\ f_{21}&=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\ f_{22}&=\frac{\partial^2f}{\partial y^2} \end{align}$$ como siempre. Si los parciales existen y son continuos, tenemos $f_{12}=f_{21}$ por lo que podemos escribir $$\mathbf H=\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{bmatrix}$$
y la fórmula adopta la forma fácil de recordar $$v_1f_{11}u_1+v_1f_{12}u_2+v_2f_{21}u_1+v_2f_{22}u_2=\begin{bmatrix}v_1&v_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$$ Como el lado izquierdo es un escalar, y $\mathbf H$ es simétrica, podemos transponer para obtener $$D^2_{\bf{u}\bf{v}} = \mathbf u^T\mathbf H\mathbf v$$ por lo que ni siquiera tenemos que recordar de qué lado está el $\mathbf u$ continúa.
