ISBN# Pregunta Matemáticas Discretas

Question

Tenía muchos problemas para resolver esto:

A todos los libros se les asigna un ISBN de 10 dígitos ( $d_{10}d_9d_8...d_2d_1$ ) que tiene la siguiente propiedad:

$\sum_{i = 1}^{10}id_i \equiv 0(\mod(11))$

Demuestre que si intercambia dos dígitos adyacentes en un número de ISBN, éste deja de ser válido.

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Supongamos que tiene un ISBN $d_{10}d_9d_8...d_2d_1$ tal que $\sum_{i = 1}^{10}id_i \equiv 0(\mod(11))$ . Podemos escribir $11|1d_1 + 2d_2 + ... + 10d_{10}$

Sin embargo, estoy atascado aquí, ¿pistas por favor?

Answer 1

Supongamos que cambias $d_n$ y $d_{n+1}$

Entonces la suma se convierte en $(\sum_{i=1}^{10} d_i )+d_n-d_{n+1}$

Desde $\sum_{i=1}^{10} d_i \equiv 0 \pmod {11}$

Para que la nueva suma sea divisible por $11$ ,

$d_n-d_{n+1} \equiv 0\pmod {11}$

$d_n-d_{n+1} \equiv k\pmod {11}$ donde $0\leq k \leq 9$ y ser divisible por $11$ el $2$ Los dígitos adyacentes deben ser iguales, lo que significa que el intercambio, en este caso, no cambia el ISBN.

Answer 2

Bueno, has hecho todo excepto considerar el número transpuesto.

Dejemos que $S_1$ sea la suma "correcta" y $S_2$ sea la suma con $d_i$ y $d_{i+1}$ transpuesto.

Entonces $S_1-S_2=id_i+(i+1)d_{i+1}-(id_{i+1}+(i+1)d_i)=d_{i+1}-d_i$

Desde $S_1\equiv0\pmod {11}$ tienes que $-S_2\equiv d_{i+1}-d_i\pmod{11}$ o mejor $S_2\equiv d_{i}-d_{i+1}\pmod{11}$

Si $d_i\not\equiv d_{i+1}\pmod{11}$ entonces el $S_2$ obviamente no es la suma de un ISBN válido ya que $S_2\not\equiv 0\pmod {11}$ .

Por otro lado, si son el mismo dígito mod 11, entonces la transposición no hace ninguna diferencia, y usted hacer obtener una palabra válida. Esto es una inexactitud en el enunciado del problema. Por ejemplo, el número ISBN de todos los ceros sigue siendo válido sin importar cuántas transposiciones se hagan.