Movimiento circular uniforme y tasa de cambio de los vectores relacionados con él

Question

Cuando estaba estudiando el movimiento circular uniforme y pensando en la forma de derivar las expresiones de los vectores relacionados como la aceleración centrípeta y centrífuga me di cuenta de una cierta rareza que se produjo en mi derivación. Quiero saber si es simplemente una coincidencia o si hay alguna forma de explicarlo.

Consideremos un círculo de radio uniforme $r$ con el $r$ haciendo un ángulo de $\alpha$ . Consideremos ahora dos vectores unitarios $\vec e_r$ a lo largo de la dirección radial con la cola conectada a la punta del $r$ vector. También el otro es $\vec e_t$ donde $\vec e_t$ es a lo largo de la tangente del círculo.

Ahora nos ponemos a resolverlos en los componentes;
$$\vec e_t = cos\alpha \hat j -sin\alpha \hat i$$ $$\vec e_r = cos \alpha \hat i + sin \alpha \hat j$$ $$\vec r = \vert r \vert \cdot \vec e_r$$ Ahora, diferenciando con el tiempo, podemos derivar todas las expresiones requeridas, sin embargo, me di cuenta de que el $\vec e_r$ cuando se diferencia con el ángulo $\alpha$ nos encontramos con que,
$$\frac {d e_r}{d \alpha} = \vec e_t$$ ¿Es una simple coincidencia o hay algún tipo de concepto que se pueda desenterrar aquí?

Además, ¿alguien puede decirme alguna forma de crear una imagen para que la figura sea clara?

Answer 1

El vector tangente $\vec{T}(\alpha)$ para una curva parametrizada por algún parámetro $\alpha$ , digamos que $\vec{r}(\alpha)$ viene dada por la derivada con respecto a $\alpha$ , $$\vec{T}(\alpha)\equiv\frac{d}{d\alpha}\vec{r}(\alpha).$$ Su vector unitario radial $\hat{e}_r(\alpha)$ es simplemente el vector de longitud unitaria que apunta al punto del círculo parametrizado por $\alpha$ Así que es natural que tomar el $\alpha$ derivado de $\hat{e}_r$ le da $\hat{e}_t$ , el vector unitario a lo largo de la tangente al círculo.

Answer 2

Parece que esta fórmula sólo refleja, en forma de vector, una relación entre la longitud de un arco, el radio y el ángulo subtendido por el arco: $S=r\theta$ .

El diagrama siguiente muestra dos vectores radiales unitarios, $\vec e_r$ y $\vec e_r+d\vec e_r$ separados por un pequeño ángulo $d\alpha$ . También muestra un vector de diferencia, $d\vec e_r$ apuntando aproximadamente en la dirección de un vector tangente unitario $\vec e_t$ .

Con respecto a este diagrama, su fórmula dice que la magnitud del vector diferencia, $d\vec e_r$ es igual al producto del radio unitario, $1$ y el ángulo $d\alpha$ ( $S=r\theta$ ), mientras que su dirección coincide con la del vector tangente $\vec e_t$ que es una buena aproximación para ángulos pequeños.