el producto cartesiano de dos conjuntos acotados es acotado

Question

Si X e Y son dos conjuntos acotados en R.

(Pero no sabemos si son compactos, sólo sabemos que están acotados).

¿Cómo puedo demostrar que su suma cartesiana XxY también está acotada y XxYR^2?

Answer 1

Un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ está acotado si está contenido en alguna bola $B(r)\subseteq\mathbb{R}^n$ centrado en $0$ de radio $r>0$ . O, de forma equivalente, cuando la norma de cada elemento es como máximo $r$ .

Así que $X,Y\subseteq\mathbb{R}$ están acotados, lo que significa que hay una bola $B(r_X)$ tal que $X\subseteq B(r_X)$ y una pelota $B(r_Y)$ tal que $Y\subseteq B(r_Y)$ .

Ahora considere $X\times Y$ . Si $(x,y)\in X\times Y$ entonces

$$\big\lVert (x,y)\big\rVert=\sqrt{x^2+y^2}\leq \sqrt{(|x|+|y|)^2}=\big||x|+|y|\big|\leq |x|+|y|< r_X+r_Y$$

En otras palabras $(x,y)$ pertenece la pelota $B(r_X+r_Y)$ . Por la elección arbitraria de $(x,y)$ concluimos que $X\times Y$ está acotado.