¿Diferenciar un "problema de valor inicial"?

Question

Tengo la siguiente EDO

$$y' = 2 - \sin(xy), \qquad 1 \le x \le 3$$

con la condición inicial $y(1)=-\frac 12$ . Tengo que demostrar que $|y''(x)| \le 40$ sobre el dominio $[1,3]$ .

Pensé que tal vez sólo hacer diferenciación parcial en y' y luego dibujar en un gráfico utilizando el dominio x y mostrar su siempre por debajo de 40, pero eso no parece funcionar ... cualquier ayuda? Si ayuda, la pregunta está en el contexto de una pregunta de Euler. Saludos.

Answer 1

Siguiendo su idea de diferenciar, observe que

$$y'' = -\cos(xy) (xy' + y) \implies |y''| \le |x| |y'| + |y|.$$

Ahora $|x| \le 3$ y $|y'| \le 3$ también (¿por qué?), por lo que queda por comprobar cómo de grande es $y$ puede conseguir. Desde $y(1) = -1/2$ y $|y'| \le 3$ se puede demostrar rápidamente que $|y| \le 6.5$ para $x$ en esta gama.

Si lo juntamos todo, obtendremos un límite superior que es bastante mejor que $40$ .

Answer 2

Diferenciando la expresión se obtiene

$$y'' = -\cos(xy)\left[y+xy'\right]= -\cos(xy)\left[y+x(2-\sin(xy))\right].$$

Usando el módulo y la desigualdad triangular:

$$\implies |y''| \leq |y+x(2-\sin(xy))| \leq |y|+|x||2-\sin(xy)|\leq |y|+3|x|\leq |y|+9.$$

Lo último que queda es encontrar un límite en $|y|$ Para ello, observamos que $y'>0$ . Por lo tanto, los valores de $y$ se levantan todos de $x=1$ a $x=3$ . La tasa de crecimiento máxima es $3$ lo que implica $y'=2-\sin(xy)\leq 3 \implies y(x)\leq 3(x-1)-1/2 \implies |y|\leq 5.5$ .