Espectáculo $1+x+(x^2/2!)+ \cdots + (x^n/n!)=0$ no tiene soluciones racionales para todos los $n>1$.

Question

Demostrar que la ecuación $$1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!}=0$$ has no rational solutions for all $n>1$.

Suponga que hay una solución racional $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$$(p,q)=1$, luego por compensación denominador tenemos $p\mid n!$$q= \pm 1$. Por lo tanto la solución debe ser un entero solución. Además, al considerar que el modulo $2$, $p$ debe ser par. Pero luego no puedo continuar más.

Por favor, ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

Para $|q|\ne 1$ Zubin el argumento está muy bien. De lo contrario, tengo una idea que me voy a presentar a continuación. Por favor señale si algo le parece mal.

Para $|q|=1$, la solución de $x$ es un entero negativo , entonces se puede demostrar que la ecuación de los rendimientos $$n!\left(1+x^2/2!+\cdots+x^{2k}/(2k)!\right)=n!\left(x+x^3/3!+\cdots+x^{2k+1}/(2k+1)!\right)$$ where $k=[n/2]$. Then $x|n!\Rightarrow n!=ax$ for some positive integer $$. Then, we can see that this yields $a|x\Rightarrow x=ab$ which yields $n!=a^2b$ and in a similar manner we can see that this will result in $b|a$. So basically we can generate in this way a sequence $a_1,a_2,\cdots$ such that $a_1|x,a_2|a_1,\cdots$ and $n!=a_1x=a_1^2a_2=a_2^3a_3$ This will continue until we get some $m>1$ such that $a_m=1$ and then we will get $n!=a_{m-1}^m$. Yo creo que esto no es posible que nos lleva a una contradicción. Estoy tratando de demostrar esta última afirmación.

Answer 2

Supongamos, por contradicción, que existan $p,q,n \in \mathbb{Z}$ tal que $n>1$ $q>0$ $\gcd(p,q)=1$ $$1+\frac{p}{q}+\frac{1}{2!}\left(\frac{p}{q}\right)^2+\frac{1}{3!}\left(\frac{p}{q}\right)^3+\cdots+\frac{1}{n!}\left(\frac{p}{q}\right)^n =0$$

Multiplicando por $n! \cdot q^n$, obtenemos

$$q^nn!+pq^{n-1}n!+\frac{n!}{2!}p^2q^{n-2} + \cdots + \frac{n!}{n!}p^n=0$$

Si tomamos la ecuación módulo $q$ obtenemos $$p^n \equiv 0 \pmod{q}$$

Esto significa $q \mid p^n$, pero esto es imposible, ya que $\gcd(p,q)=1$.

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Edit: a La respuesta anterior, no es correcto. Sólo muestra que $q=1$$p<0$.