Parte fraccionaria de una raíz cuadrada

Question

Dejemos que $a$ sea un número entero positivo y que $\{x\}$ denotan la parte fraccionaria de $x$ . Demostrar que $\left \{\sqrt{a^2+1}\right \}$ es menor que cualquier elemento del conjunto $S = \{\{\sqrt{x}\}\mid x < a^2 \quad \text{and} \quad \sqrt{x} \not \in \mathbb{Z}\}$ .

Intuitivamente esto tiene sentido. Básicamente dice que cuanto más grande es un número, más pequeña es la parte fraccionaria de su raíz cuadrada. Pero, ¿cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Para cada $x<a^2$ , $\sqrt{x}\notin \mathbb{Z}$ , asuma que $k^2<x<(k+1)^2$ , donde $1\leqslant k\leqslant a-1$ es un número entero. Entonces $\{\sqrt{x}\}=\sqrt{x}-k\geqslant \sqrt{k^2+1}-k$ .

Ahora, considere $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ que es estrictamente decreciente.

Así, tenemos $\{ \sqrt{a^2+1} \}=\sqrt{a^2+1}-a=f(a)<f(k)<\sqrt{k^2+1}-k\leqslant \{x\}$ .