Esto es cierto en el caso suave, suponiendo que $j:Y\hookrightarrow Z$ es propia (las imágenes inversas de los conjuntos compactos son compactas; esto se cumple, por ejemplo, si $Y$ es compacto). Es una consecuencia de un hecho más general, que los pushforwards (u homomorfismos de Gysin, o Umkehr) para mapas propios conmutan con los pullbacks. Es decir, dado un cuadrado de pullback transversal como
$$ \require{AMScd} \begin{CD} X\cap Y @>{f}>> Y\\ @V{g}VV @VV{j}V \\ X @>{i}>> Z \end{CD} $$ donde $j$ es propia, y una clase de cohomología $a\in H^*(Y)$ tenemos $$ i^*j_!(a) = g_!f^*(a) \in H^{*+\operatorname{dim}(Z)-\operatorname{dim}(Y)}(X). $$ Al menos, esto es cierto bajo algunas suposiciones de orientabilidad (tales como que los mapas de Gysin existen en cualquier teoría de cohomología que estés usando) que deberían satisfacerse para subvariedades complejas y cohomología integral. Entonces tu afirmación se deduce tomando $a=1\in H^0(Y)$ , ya que $[Y]=j_!(1)$ .
Parece difícil encontrar una referencia sencilla para este hecho. Podría probar con algunas de las referencias que se dan en Referencia para la fórmula push-pull en cohomología o Referencia para el cambio de base de la cohomología pull-push para intersecciones limpias. . Creo recordar que esto está en el libro de Eldon Dyer "Teorías de cohomología" para la cohomología generalizada, pero no puedo localizar una copia para comprobarlo ahora mismo.
En geometría algebraica hay fórmulas similares en los grupos de Chow, pero me temo que no soy un experto. Los libros que yo consultaría son "Intersection Theory" de Fulton y "Categorical Framework for the Study of Singular Spaces" de Fulton y MacPherson.
