¿Cómo se relaciona la probabilidad condicional con los operadores matemáticos? ¿Cómo saber cuándo definir los eventos como condicionales?

Question

En mi curso de introducción a la estadística me di cuenta de que la mayoría de los operadores como AND/OR se relacionan con operadores matemáticos como la multiplicación y la suma. ¿Hay alguna relación entre la probabilidad condicional y los operadores matemáticos?

Mi pregunta de seguimiento para esto es: Estoy luchando para determinar cuándo definir un evento como un evento de probabilidad condicional o cuándo definirlo como A y B han ocurrido. No estoy seguro de por qué esto no tiene sentido para mí, pero ayudaría a conocer una mejor manera de entender cuándo y cómo definir la probabilidad condicional.

Answer 1

Teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas, por lo que es un "operador matemático". Se define en términos de probabilidad conjunta de dos eventos $A$ y $B$ que ocurren juntos

$$ P(A\; \mathrm{and} \;B) = P(A, B) $$

y la probabilidad marginal $P(B)$ ,

$$ P(A | B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} $$

Answer 2

La forma más sencilla de entender la probabilidad condicional a un nivel introductorio es realizar ejercicios en los que se relacionen las probabilidades con las áreas y las áreas relativas en un diagrama de Venn. Hay muchos recursos disponibles que enseñan la probabilidad condicional de esta manera, pero aquí daré un esquema simple. Consideremos un diagrama de Venn con dos sucesos $A$ y $B$ representados como círculos entrelazados (imagen tomada de esta pregunta relacionada ), y supongamos que tratamos las áreas como equivalentes a las probabilidades. La probabilidad de $A$ es el área del círculo púrpura y la probabilidad de $B$ es el área del círculo azul. El probabilidad condicional de $A$ dado $B$ sería el tamaño relativo de la intersección en la que se producen estos dos eventos (el área azul oscuro del centro) en relación con el área del círculo azul.

Si realiza una búsqueda rápida en Internet, encontrará cientos de recursos introductorios que explican la probabilidad condicional mediante diagramas de Venn, lo que le proporciona una bonita ilustración visual del concepto. También podrás encontrar ejercicios para poner a prueba tus conocimientos. Yo recomendaría esto como punto de partida para cualquiera que tenga dificultades para entender la relación entre la probabilidad condicional y las operaciones Y/O sobre los sucesos.

Answer 3

Cuando dices $$P(A \text{ and }B)=P(A)\cdot P(B)$$ que es cierto para los eventos independientes. Para los acontecimientos no independientes, el regla de la cadena para la probabilidad dice: $$P(A\text{ and }B) = P(A|B)\cdot P(B)$$ De hecho, cuando $A$ y $B$ son independientes, $P(A|B)=P(A)$ y se recupera la primera definición.

El evento $A|B$ tiene sentido cuando la probabilidad de $A$ está influenciado por el resultado de $B$ . Su probabilidad $P(A|B)$ se define como Tim dijo antes.