Definición del límite de la secuencia

Question

Si invertimos el orden de los acontecimientos en la definición de límite de secuencia $\langle a(n) \rangle$ obtenemos

Existen $N$ tal que para todo $\epsilon > 0$ para todos $n \geq N$ , $|a(n)-a|< \epsilon$ .

¿Qué significa esto?

La respuesta dada es "Esto sólo significa $a(n)=a$ para todos $n>N$ ." Realmente no me hago a la idea de cómo es diferente de la definición de límite. Por qué no podemos definir el límite así.

Answer 1

La declaración $$(\exists N\in\mathbb N)(\forall\varepsilon>0):n\geqslant N\implies\lvert a-a_n\rvert<\varepsilon$$ significa que hay un número natural $N$ tal que, para cualquier número $\varepsilon>0$ la desigualdad $\lvert a-a_n\rvert<\varepsilon$ se mantiene siempre que $n\geqslant N$ . Pero $\lvert a-a_n\rvert\geqslant0$ y el único número no negativo que es más pequeño que cualquier número mayor que $0$ es $0$ . Entonces, lo que esto significa es que, si $n\geqslant N$ , $\lvert a-a_n\rvert=0$ . Pero $$\lvert a-a_n\rvert=0\iff a-a_n=0\iff a=a_n.$$

Answer 2

La condición en su puesto significa que el mismo $N$ es válido para cualquier $\epsilon$ (mientras que en la definición del límite, $N$ se ajusta en función de $\epsilon$ ).

Esto es prácticamente lo mismo que decir que $N$ debe ser válida para $\epsilon=0$ es decir, o bien $a(n)=a$ o $N$ es infinito (lo que no es aceptable).

Answer 3

La declaración

Existen $N$  tal que para todo  $\epsilon>0$  para todos  $n\ge N,$ tenemos $|a(n)-a|<\epsilon$

significa que cuando se llega lo suficientemente lejos en la secuencia (es decir, desde algún punto $n=N$ ), todos los términos después de ese punto están a una distancia menor que $\epsilon$ a partir de un número fijo $a,$ no importa lo pequeño que sea $\epsilon$ se convierte. Eso significa que todos los términos después de ese punto están arbitrariamente cerca de $a.$ O, en otras palabras, que todos son $a,$ ya que es el único número que se acerca arbitrariamente a $a.$