Número de cuadriláteros formados por 11 puntos situados en 2 líneas paralelas

Question

Nos dan dos líneas paralelas $r$ y $s$ . Línea $r$ contiene 5 puntos y una línea $s$ 6 puntos. Teniendo en cuenta sólo los $11$ puntos, ¿cuántos cuadriláteros con vértices en esos puntos se pueden formar?

Mi respuesta:

Tal vez estoy siendo demasiado simplista, pero lo que yo pensaba era que tenía que elegir 2 puntos de $r$ y dos de $s$ así que

$$ \text{Two points from }r \Rightarrow \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{1}\\ \text{Two points from }s \Rightarrow \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} $$

Dicho esto, el número total de posibilidades es

$$ \binom{5}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{6}{1} \cdot \binom{5}{1} = 600 $$

Lo que no coincide con la respuesta del libro de texto. ¿Estoy cometiendo un error por descuido en alguna parte? ¿O considerando algunos casos más de una vez?

La respuesta del libro de texto: $150$

Gracias.

Answer 1

Elegir dos puntos de $r$ le da $5\choose2$ opciones, y no ${5\choose1}{4\choose1}$ . En efecto, dejemos que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ sean los puntos de $r$ . Al elegir 1 entre 5 y luego 1 entre los cuatro restantes, se cuentan ambos $(A, C)$ y $(C, A)$ (que, en cierto sentido, te daría el mismo cuadrilátero).

Por lo tanto, sólo tiene ${6\choose2} {5\choose2} = 150$ cuadriláteros. (Sin embargo, esto es discutible, sólo es cierto si sólo se consideran los cuadriláteros simples (es decir, que no se cruzan))