La probabilidad condicional frente a la combinatoria

Question

Considere un lote compuesto por 3 bolas azules y 1 bola roja.

Supongamos que elijo 2 bolas una tras otra sin reemplazo, ahora la probabilidad de que 2 bolas sean azules:

$$\frac{3\choose 2}{4 \choose 2}$$

Ahora tomando un enfoque diferente utilizando la probabilidad condicional, la solución es también:

$$\frac34\times\frac23$$

Ahora resulta que ambos evalúan a $1/2$ .

¿Por qué ocurre esto y ocurre siempre?

¿Resolver el problema usando combinaciones es un enfoque eficiente siempre?

¡O me estoy perdiendo algo básico aquí!

Answer 1

Ambos enfoques son correctos. Ambos métodos pueden ser vistos como combinatorios.

En su primera aproximación, su espacio muestral consiste en ${4 \choose 2} = 6$ muestras desordenadas, cada una con probabilidad $1/6.$ Tres de los seis resultados corresponden a la elección de dos bolas azules, para una probabilidad de $1/2.$ Está bien utilizar muestras desordenadas porque nos interesa el número de bolas elegidas de cada color, no el orden de elección.

Tal vez las bolas estén numeradas 1, 2, 3, 4, siendo las tres primeras azules. Entonces los resultados que satisfacen su evento son $\{12, 13, 23\}$ . (Yo uso $numerical$ orden en este listado porque el $actual$ pedir de la lista es irrelevante.

En su segundo enfoque, puede considerar que tiene un espacio muestral que consiste en $12$ resultados ordenados, cada uno con probabilidad $1/12.$ Seis de los doce resultados ordenados tienen dos bolas azules, por lo que la probabilidad es $1/2.$

Este segundo enfoque sería necesario si se quisiera responder una pregunta como "¿Cuál es la probabilidad de que elija una bola azul azul y luego la roja?"

Numerando las bolas como antes, los seis resultados de los doce que satisfacen el evento $\{\text{Two Blue}\}$ son $\{12, 13, 23, 21, 31, 32\}.$ Aquí no soy libre de utilizar el orden numérico al hacer mi lista porque el orden real de selección sí importa.

Answer 2

Este es un método más para resolver este problema:
Consideremos un lote formado por {B1,B2,B3,R} B:Bola azul R:Bola roja.

Ahora enumera todas las combinaciones que obtenemos cuando elegimos 2 bolas del Lote, una tras otra(sin reemplazo).Que el evento sea S.

S={(B1,B2),(B1,B3),(B1,R),(B2,B1),(B2,B3),(B2,R),(B3,B2),(B3,B1),(B3,R),(R,B1),(R,B2),(R,B3)}.

Ahora nuestro evento E recibe 2 bolas azules,

E={(B1,B2),(B1,B3),(B2,B1),(B2,B3),(B3,B2),(B3,B1)}.

Ahora la probabilidad de obtener el evento E es,
P(E)=n(S)/n(E);que es 6/12=1/2. n: cardinalidad de un conjunto (es decir, número de elementos).

Inferencia: Hay un montón de maneras de obtener la solución a una pregunta de probabilidad, todas las respuestas coinciden siempre que el enfoque sea el correcto.Cada uno elige su propio enfoque, por lo que no hay un enfoque "eficiente". Esta es también una razón por la que a mí (a la mayoría de nosotros) nos encanta.

Answer 3

Hablamos de un sorteo sin sustitución.

Para el caso concreto que has expuesto, los dos enfoques coinciden, pero ten cuidado

Si la pregunta fuera la probabilidad de obtener 1 rojo, 1 azul

$(a) \dfrac{{3\choose1}{1\choose1}}{4\choose2} = \dfrac12$ pero

$(b) \dfrac34\cdot\dfrac13 = \dfrac14$ y hay que multiplicar por $2!$ para tener en cuenta los diferentes órdenes en los que pueden ocurrir los eventos.

Por otro lado, si el problema preguntaba la probabilidad de un rojo seguido de un azul,

$(b) \dfrac34\cdot\dfrac13 = \dfrac14$ es correcto,

y para $(a)$ , es necesario que dividir $\dfrac{\binom{3}{1}\binom{1}{1}}{\binom{4}{2}}= \dfrac12$ por $2!$ para obtener la orden especificada

Adoptando el enfoque KISS, utilizo combinaciones cuando el orden no está especificado, y la multiplicación directa de las probabilidades cuando el orden está especificado.