Dudas con una serie funcional

Question

Tengo la siguiente serie funcional $$ f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^x} $$ Necesito encontrar su dominio, su intervalo de continuidad y dónde es diferenciable esta función.

Mi intento:

Dominio: el dominio es $I:=(1,+\infty)$ . Es fácil ver que la serie es uniformemente convergente en $[\xi,+\infty)$ con $\xi>1$ porque para cada $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $$ \sum_{n\geq N}\frac{1}{n^\xi}<\epsilon $$ Así que, comparando criterios, $f$ es uniformemente convergente en $[\xi,+\infty)$ para todos $\xi>1$ . Mi primera pregunta es, ¿puedo concluir que $f$ es uniformemente convergente en $I$ ?

Contuinidad: Como cada $f_n(x)=\frac{1}{n^x}$ es continua, para cada $\xi>1$ , $f$ es continua en $[\xi,+\infty)$ Así que $f$ es continua en $I$ .

Diferenciabilidad: Tenemos que $f_n'(x)=\frac{1}{n^x}ln(\frac{1}{n})=-\frac{1}{n^x}\ln(n)<-\frac{1}{n^{x-1}}$ entonces $\sum f_n'$ converge uniformemente en cualquier intervalo $[\xi,+\infty)$ para cada $\xi>2$ . (De nuevo, con esto puedo concluir que $\sum f_n'$ es uniformemente convergente en $(2,+\infty)$ ). Así que, $f$ es diferenciable en $(2,+\infty)$ .

Segunda pregunta: ¿Mis intervalos son correctos?

Answer 1

Esto es no una serie geométrica; algo así como $\sum x^n$ sería. Tienes razón en cuanto al dominio, porque la prueba integral muestra que $\sum n^{-x}$ converge si y sólo si $x > 1$ . Además, se puede obtener una convergencia uniforme en cualquier $[\xi, \infty)$ para $\xi > 1$ por el Weierstrass $M$ -pero la convergencia es no uniforme en $[1, \infty)$ porque $\lim_{x \to 1+} \sum n^{-x} = \infty$ .

En cuanto a la diferenciabilidad, puedes conseguirla en $(1, \infty)$ siendo más juicioso con su estimación del logaritmo. En particular, para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos

$$\ln(n) \le n^{\epsilon}$$

una vez $n$ es lo suficientemente grande (en términos de $\epsilon$ ). Además, las derivadas convergen uniformemente en $[\xi, \infty)$ para cualquier $\xi > 1$ , de nuevo por el $M$ -prueba.

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De hecho, es mucho más cierto. No sólo es $\sum n^{-x}$ infinitamente diferenciable en $(1, \infty)$ cada una de las series que aproximan las derivadas son uniformemente convergentes en cualquier intervalo $[1 + \epsilon, \infty)$ .