Dada una función $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{C}$ que satisfaga las condiciones adecuadas (decaimiento exponencial en el infinito, variación continua y acotada) es suficiente, su Transformación de Mellin está definida por la función
$$M(f)(s) = \int_0^{\infty} f(y) y^s \frac{dy}{y},$$
y $f(y)$ puede recuperarse mediante la fórmula de inversión de Mellin:
$$f(y) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} y^{-s} M(f)(s) ds.$$
Esto es un cambio de variable de la fórmula de inversión de Fourier, o de la fórmula de inversión de Laplace, y se puede demostrar de la misma manera. Esto se utiliza todo el tiempo en la teoría analítica de los números (así como en muchos otros temas, según tengo entendido) -- por ejemplo, si $f(y)$ es la función característica de $[0, 1]$ entonces su transformada de Mellin es $1/s$ y se recupera el hecho (fórmula de Perron) de que
$$\frac{1}{2\pi i} \int_{2 - i \infty}^{2 + i \infty} n^{-s} \frac{ds}{s}$$
es igual a 1 si $0 < n < 1$ y es 0 si $n > 1$ . (Obsérvese que hay cuestiones técnicas que estoy glosando; se integra sobre cualquier línea vertical con $\sigma > 0$ y la integral es igual a $1/2$ si $n = 1$ .)
Utilizo estas fórmulas con frecuencia, pero... Me encuentro con que tengo que buscarlas repetidamente, y me gustaría entenderlas de forma más intuitiva. La fórmula de Perron se puede demostrar utilizando la fórmula del residuo de Cauchy (desplazar el contorno a $- \infty$ o $+ \infty$ dependiendo de si $n > 1$ ), pero esta prueba no demuestra la fórmula general de inversión de Mellin.
Mi pregunta es:
¿Qué significan la transformada de Mellin y la fórmula de inversión? Moralmente, ¿por qué son ciertas?
Por ejemplo, ¿por qué la transformada de Mellin es una integral sobre los reales positivos, mientras que la transformada inversa es una integral sobre el plano complejo?
He encontrado algunos recursos Wikipedia; esta pregunta del modus operandi está estrechamente relacionado, y el primer vídeo en particular es bonito; y una prueba se esboza en Iwaniec y Kowalski -- pero creo que debería haber una explicación más intuitiva que cualquiera que se me haya ocurrido hasta ahora.
