¿Qué es exactamente un $R$-módulo?

Question

De La Wikipedia:

"Si $R$ es conmutativa, luego a la izquierda $R$-los módulos son de la misma como derecho $R$-módulos y se llama simplemente el $R$-módulos."

La definición de la izquierda $R$-módulo: $M$ es una izquierda $R$-módulo de si $M$ es un grupo abelian y $R$ un anillo que actúe en $M$ tal que

(i) $r(m_1 + m_2) = rm_1 + rm_2$

(ii) $(r_1 + r_2 ) m = r_1 m + r_2 m$

(iii) $1m = m$

(iv) $r_1 (r_2m) = (r_1 r_2) m$

No entiendo lo que conmutatividad de la $R$ tiene que ver con el módulo que se va a la izquierda y a la derecha. Si $R$ es conmutativa significa que $r_1 r_2 = r_2 r_1$. Ahora bien, ¿cómo se sigue de eso que $rm = mr$? $M$ no es un subconjunto de a $R$, podría ser cualquier cosa, entonces, ¿cómo la conmutatividad de la $R$ hacer elementos de $M$ $R$ viaje, también?

Answer 1

Dado un anillo de $R$, el opuesto $R^{op}$ es el anillo con el mismo grupo subyacente, pero con la multiplicación definida por $(a,b)\mapsto ba$.

Ahora un derecho $R$-módulo puede ser definida como una izquierda $R^{op}$-módulo.

Claramente $R$ es conmutativo si y sólo si $R=R^{op}$; en este caso a la izquierda y a la derecha $R$-los módulos son "el mismo".

[Edit: mi respuesta no aporta nada nuevo a Jonas respuesta, pero creo que el término opuesto del anillo merece ser mencionado en este hilo.]

Answer 2

La definición de derecho $R$ módulo es similar, excepto que los elementos de la $R$ están escritos en el derecho, y los axiomas de convertirse en

(i) $(m_1 + m_2)r = m_1r + m_2r$

(ii) $m(r_1 + r_2 ) = mr_1 + mr_2 $

(iii) $m1 = m$

(iv) $(mr_1) r_2 = m(r_1 r_2)$

Si $R$ es un anillo conmutativo y $M$ es una izquierda $R$ módulo, entonces podemos definir un derecho $R$ módulo de $M'$ que es el mismo grupo abelian como $M$ y esencialmente con la misma acción, pero con los elementos de la $R$ que actúa sobre el derecho: es decir, si $rm$ es el resultado de $r\in R$ actuando en $m\in M$, entonces podemos definir la acción de $R$$M'$$mr = rm$. (Es decir, no es una cuestión de si es "verdad" que $mr=rm$; por el contrario, nos definimos ser así.) A continuación, puede comprobarse que $M'$ satisface los axiomas, y no hay nada perdido que va de $M$ $M'$o viceversa. Conmutatividad es necesario para el axioma (iv). Eso es lo que significa en la Wikipedia.

Sin embargo, uno debe tener cuidado. Si $M$ es una izquierda $R$ módulo, a continuación,$M$, como abelian grupo, podría ser dado derecho $R$ módulo de acción que no se obtiene desde la izquierda de este modo la acción, incluso si $R$ es conmutativa. Por lo tanto, en algunos contextos, donde más de una acción está siendo considerado, puede ser útil para designar a la izquierda y a la derecha módulos de anillos conmutativos.

Answer 3

Lo que Wikipedia quiere decir:

Si $R$ es un anillo conmutativo y $M$ derecho $R$-módulo, de la ley de $r\cdot m:=mr$ define a la izquierda $R$-módulo de estructura en $M$.

Así que todas las aseveraciones sobre el derecho de la $R$-módulos puede convertirse muy fácilmente en afirmaciones acerca de la izquierda $R$-módulos por escrito para la multiplicación por la izquierda. Por lo tanto no perdemos nada si estudiamos sólo a la izquierda $R$-módulos.

Asegúrese de que usted entiende que esto no es generalmente el caso si $R$ no es conmutativa.

Answer 4

Para un módulo de derecho, la multiplicación se escriben normalmente con el escalar a la derecha, y el axioma (iv) se convierte en $(mr_1)r_2=m(r_1r_2)$. Si tuviera que escribir el producto con el escalar a la izquierda, el axioma (iv) habría de ser bastante incómodo: $r_1(r_2m)=(r_2r_1)m$. Pero claro, si $R$ es conmutativa, esto no importa.