Observables cuánticos conservados a partir de simetrías *con matriz de densidad*.

Question

He leído a Ballentine donde deriva los operadores observables conservados (momento, energía, ...) a partir de simetrías del espacio-tiempo.

¿Puedo leer una derivación de este tipo con más detalle en algún otro lugar o incluso una para el grupo de Poincaré?

Y lo que es más importante, la derivación utiliza la invariancia gauge de la función de onda. ¿Existe una derivación con el formalismo de la matriz de densidad en la que no se necesiten exponenciales complejos para la invariancia gauge?

Answer 1

Sí, lo hay:

Un grupo unitario de transformación de 1 parámetro $U(s)$ satisface $U(0)=1$ , $U(-s)=U(s)^*$ y $U(s+s')=U(s)U(s')$ para todos los reales $s,s'$ . En la imagen de Heisenberg, $U(s)$ transforma un observable $A$ en el observable conjugado $A(s)=U(s)AU(-s)$ , preservando así el espectro de $A$ .

La transformación se llama simetría continua de un sistema cuántico si preserva el Hamiltoniano $H(t)$ es decir, $U(s)H(t)U(-s)=H(t)$ para todos los $s$ , $t$ . Diferenciación con respecto a $s$ da $U'(s)H(t)U(-s)-U(s)H(t)U'(-s)=0$ . Tomando $s=0$ e introduciendo el generador $K=\dot U(0)/i\hbar$ de la simetría, encontramos $K H(t)-H(t)K=0$ . Así, $K$ conmuta con el Hamiltoniano en todo momento $t$ . Por el contrario, si $K$ conmuta con el Hamiltoniano en todo momento, entonces $U(s)= e^{isK/\hbar}$ también conmuta con el Hamiltoniano en todo en todo momento, por lo que $U(s)H(t)U(-s)=U(s)U(-s)H(t)=H(t)$ . Así, un grupo de 1 parámetro es un grupo de simetrías si su generador conmuta con el Hamiltoniano en todo momento.

Un sistema cuántico se llama invariante en el tiempo si el Hamiltoniano $H$ es independiente del tiempo. En este caso, $K=H$ conmuta trivialmente con $H$ , que define el grupo de simetría de las traslaciones temporales $U(t)=e^{itH/\hbar}$ . Utilizando este grupo, se puede definir para un observable arbitrario $A$ el observable desplazado en el tiempo $A(t)=U(t)AU(-t)$ , describiendo el dependencia del tiempo en la imagen de Heisenberg.

En la imagen de Schroedinger, se refiere todo al tiempo cero mediante escribiendo expectativas dependientes del tiempo $\langle A\rangle_t=Tr\ \rho A(t)$ con respecto a un estado fijo de Heisenbeg $\rho$ como expectativas $\langle A\rangle_t=Tr\ \rho(t) A$ . Utilizando la definición de $A(t)$ y las propiedades de la traza, la condición resultante $Tr\ \rho A(t)=Tr\ \rho(t) A$ da (para sistemas independientes del tiempo) la fórmula $\rho(t)=U(-t)\rho U(t)$ , con signo de $t$ opuesto como en ¡la imagen de Heisenberg! La diferenciación da $\dot\rho(t)=-U'(-t)\rho U(t)+U(-t)\rho U'(t)$ y como $U'(t)=iHU(t)/h_bar=iU(t)H/h_bar$ encontramos el Liouville cuántico ecuación de Liouville $\dot \rho(t) = -i/\hbar Tr\ [H,\rho]$ . (En el caso de la dependencia del tiempo esta ecuación toma la forma
$\dot \rho(t) = -i/\hbar Tr\ [H(t),\rho]$ .)

Un observable cuántico $A$ se llama conservada si, para todos los estados $\rho$ , su expectativa $\langle A\rangle_t$ es independiente del tiempo. La diferenciación da la condición $0=Tr\ \dot \rho(t) A = -i/\hbar Tr\ [H(t),\rho] A$ que es equivalente a $0=Tr\ [H(t),\rho] A = Tr\ H\rho A-Tr\ \rho H A = Tr\ \rho (HA-AH) =Tr\ \rho [H,A]$ . Dado que esto debe ser válido para todos los $\rho$ el observable $A$ se conserva si conmuta con $H$ .

Esto demuestra el teorema de Noether de que el generador de un grupo de simetrías de 1 parámetro se conserva.

Si se especializa esto al caso en que $A$ es el operador de energía (el generador de las traslaciones del tiempo), un componente del operador de momento (los generadores de las traslaciones del espacio), un componente del operador de momento angular (los generadores de las rotaciones), se obtiene de la invariancia bajo el grupo de Poincare la conservación de la energía, el momento, el momento angular.