Raíces polinómicas y convexidad

Question

Hace un par de años, se me ocurrió la siguiente pregunta, a la que hasta hoy no tengo respuesta. He preguntado a unas cuantas personas al respecto, a la mayoría de mis profesores y a algunos amigos, pero nadie había oído hablar de la pregunta antes, y nadie sabía la respuesta.

Espero que sea una pregunta original, pero viendo lo natural que es, dudo que sea la primera vez que alguien la hace.

Primero, algo de motivación. Toma $P$ cualquier polinomio complejo no nulo. Es un ejercicio fácil y clásico demostrar que las raíces de su derivada $P'$ yacen en el casco convexo de sus propias raíces (esto lo conozco como la propiedad de Gauss-Lucas). Para demostrarlo, basta con escribir $P = a \cdot \prod_{i=1}^{r}(X-\alpha_i)^{m_i}$ donde el $\alpha_i~(i=1,\dots,r)$ son las diferentes raíces de $P$ y $m_i$ las multiplicidades correspondientes, y evaluar $\frac{P'}{P}=\sum_i \frac{m_i}{X-\alpha_i}$ en una raíz $\beta$ de $P'$ que no es también una raíz de $P$ . Acabarás con una expresión de $\beta$ como una combinación convexa de $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ . Cabe mencionar que todos los coeficientes convexos son $>0$ por lo que la nueva raíz no puede estar en el borde del casco convexo de $P$ de las raíces.

Ahora arreglar $P$ un determinado polinomio complejo no nulo, y considerar $\Pi$ su primitiva (antiderivada) que desaparece en $0:~\Pi(0)=0$ y $\Pi'=P$ . Para cada complejo $\omega$ , escriba $\Pi_{\omega}=\Pi-\omega$ para obtener todas las primitivas de $P$ . Además, defina para cualquier polinomio $Q$ , $\mathrm{Conv}(Q)$ el casco convexo de $Q$ de las raíces.

PREGUNTA PRINCIPAL: describir $\mathrm{Hull}(P)=\bigcap_{\omega\in\mathbb{C}}\mathrm{Conv}(\Pi_{\omega})$ .

Por la propiedad citada anteriormente, $\mathrm{Hull}(P)$ es un subconjunto compacto convexo del plano complejo que contiene $\mathrm{Conv}(P)$ pero tengo la firme sospecha de que, en general, es mayor.

He aquí algunas observaciones sencillas:

1. sustituyendo a $P$ (resp. $\Pi$ ) por $\lambda P$ (resp. $\lambda \Pi$ ) no cambiará el resultado, y considerando $P(aX+b)$ cambiará $\mathrm{Hull}(P)$ en consecuencia. Por lo tanto, podemos suponer que ambos $P$ y $\Pi$ para ser mónico. El hecho de que $\Pi$ ya no es una primitiva de $P$ no tiene ninguna importancia.

2. la intersección que define $\mathrm{Hull}(P)$ puede tomarse para $\omega$ en un subconjunto compacto de $\mathbb{C}$ : como $|\omega| \rightarrow \infty$ las raíces de $\Pi_{\omega}$ tenderá a acercarse al $(\deg (P)+1)$ -raíces de $\omega$ Así que para un tamaño suficientemente grande $\omega$ su casco convexo siempre contendrá, por ejemplo, $\mathrm{Conv}(\Pi)$ .

3. $\mathrm{Hull}(P)$ puede calcularse explícitamente en los siguientes casos: $P=X^n$ , $P$ de grado $1$ o $2$ . Sólo hay 2 tipos de titulación $2$ polinomios: dos raíces simples o una raíz doble. Utilizando $z\rightarrow az+b$ Sólo hay que tener en cuenta $P=X^2$ y $P=X(X-1)$ . La primera da como resultado { $0$ }, que es igual a $\mathrm{Conv}(X^2)$ el segundo da $[0,1]=\mathrm{Conv}(X(X-1))$ .

Además, si $\Pi$ es un polinomio real de grado impar $n+1$ que tiene todas sus raíces reales y simples, dicen $\lambda_1 < \mu_1 < \lambda_2 < \dots < \mu_n < \lambda_{n+1}$ donde también he colocado $P$ de las raíces $\mu_1, \dots, \mu_n$ y si además se asume que $\Pi(\mu_{2j}) \leq \Pi(\mu_n) \leq\Pi(\mu_1) \leq\Pi(\mu_{2j+1})$ para todos los que son apropiados $j$ (una condición que se entiende mejor con una imagen), entonces $\mathrm{Hull}(P)=\mathrm{Conv}(P)=[\mu_1,\mu_n]$ : sólo varía $\omega$ entre $[\Pi(\mu_n), \Pi(\mu_1)]$ el polinomio resultante $\Pi_{\omega}$ siempre se divide entre los números reales y se obtiene

$$[\mu_1,\mu_n]=\mathrm{Conv}(P)\subset\mathrm{Hull}(P)\subset \mathrm{Conv}(\Pi_{\Pi(\mu_1)})\cap \mathrm{Conv}(\Pi_{\Pi(\mu_n)}) = \\= [\mu_1,\dots]\cap [\dots,\mu_n]=[\mu_1,\mu_n]$$

4. La ecuación $\Pi_{\omega}(z)=\Pi(z)-\omega=0$ define una superficie de Riemann, pero I no veo cómo eso podría ser de alguna utilidad.

Informática $\mathrm{Hull}(P)$ para el siguiente más sencillo polinomio $P=X^3-1$ ha demostrado ser un reto, y sólo puedo conjeturar lo que podría ser.

Informática $\mathrm{Hull}(X^3-1)$ requiere factorizar el grado 4 por lo que, naturalmente, se trata de buscar buenos valores de $\omega$ , el $\omega$ que permiten una fácil factorización de $\Pi_{\omega}=X^4-4X-\omega$ ---por ejemplo, el $\omega$ que produce una raíz doble. Todo lo que queda por hacer después es factorizar un polinomio cuadrático. El problema es simétrico, y puedes centrarte en el caso en el que 1 es la raíz doble (es decir, $\omega=-3$ ). Introduciendo el resultado en la intersección, y girando dos veces, se obtiene el siguiente superconjunto de $\mathrm{Hull}(X^3-1)$ un hexágono que es la intersección de tres isóceles semejantes triángulos con su vértice principal situado en las tres terceras raíces de la unidad $1,j,j^2$

PREGUNTA: es este hexágono igual a $\mathrm{Hull}(X^3-1)$ ?

He aquí por qué creo que esto puede ser.

Consideremos la cuestión de cómo los cascos convexos de las raíces de $\Pi_{\omega}$ varían como $\omega$ varía. Cuando $\omega_0$ es tal que todas las raíces de $\Pi_{\omega_0}$ son simples, entonces el teorema de la función inversa muestra que las raíces de $\Pi_{\omega}$ con $\omega$ en un pequeño barrio de $\omega_0$ varían holomórficamente $\sim$ linealmente en $\omega-\omega_0$ : $z(\omega)-z(\omega_0)\sim \omega-\omega_0$ . Sin embargo, si $\omega_0$ es tal que $\Pi_{\omega_0}$ tiene una raíz múltiple $z_0$ de la multiplicidad $m>1$ , entonces una pequeña variación de $\omega$ sobre $\omega_0$ dividirá la raíz múltiple $z_0$ en $m$ raíces distintas de $\Pi_{\omega}$ que se extenderá aproximadamente como $z_0+c(\omega-\omega_0)^{\frac{1}{m}}$ , donde $c$ es algún coeficiente no nulo. Este significa que para pequeñas variaciones, estas raíces se moverán a velocidades mucho mayores que las raíces simples, y constituirán la mayor contribución a la variación de $\mathrm{Conv}(\Pi_{\omega})$ Además, se reparten uniformemente, y (al menos si el multiplicidad es mayor o igual a $3$ ) tenderán a aumentar el casco convexo alrededor de $z_0$ . Por lo tanto, no parece demasiado descabellado conjeturar que el casco convexo $\mathrm{Conv}(\Pi_{\omega})$ tiene lo que sólo se puede describir como puntos críticos en el $\omega_0$ que producen raíces con multiplicidades. Estoy bastante seguro de que hay una especie de cálculo sobre conjuntos convexos que permitiría precisar esta afirmación, pero no sé ver cuál podría ser.

Volver a $X^3-1$ : los cálculos explícitos sugieren que hasta el segundo orden, la raíz doble $1$ de $X^4-4X+3-h$ para $|h|<<1$ se divide por la mitad muy bien (aquí $\omega=-3+h$ ), y el casco convexo seguirá conteniendo el mencionado hexágono.

PREGUNTA (Conjetura): ¿es cierto que $\mathrm{Hull}(P)=\bigcap_{\omega\in\mathrm{MR}}\mathrm{Conv}(\Pi_{\omega})$ , donde $\mathrm{MR}$ es el conjunto de todos los $\omega_0$ tal que $\Pi_{\omega_0}$ tiene una raíz múltiple, es decir, el conjunto de todos los $\Pi(\alpha_i)$ donde el $\alpha_i$ son las raíces de $P$ ?

Todos los ejemplos anteriores de cálculos coinciden con esto, y he intentado justificar lo mejor posible esta conjetura heurísticamente.

¿Conoce alguna solución? ¿Es un problema clásico? ¿Hay alguien lo suficientemente valiente como para hacer un programa de ordenador que calcule algunas intersecciones de cascos convexos obtenidas de las raíces para ver si mi conjetura es válida?

Answer 1

Primero, un contraejemplo a su conjetura. Dejemos que $\Pi = x^4+x^3+4x^2+4x = x(x+1)(x^2+4)$ Así que $P = 4x^3+3x^2+8x+4$ . Los valores críticos de $\omega$ son $1.06638, 3.89455 + 2.87687i, 3.89455 - 2.87687i$ y por inspección (usando Mathematica) vemos que para cada uno de estos valores de $\omega$ , $\mbox{Conv}(\Pi_\omega)$ contiene una vecindad de $0$ .

Ahora, un cálculo sobre conjuntos convexos. Todo conjunto convexo es la intersección de un conjunto de semiplanos. Llamamos esencial a un semiplano de esta colección si al quitar de nuestro conjunto de semiplanos todos los semiplanos de un conjunto abierto de semiplanos (en la topología de los semiplanos) que lo contienen, la intersección de los semiplanos de nuestro conjunto se hace más grande. Queremos encontrar una caracterización de los semiplanos esenciales de $\mbox{Hull}(P)$ .

En primer lugar, afirmo que cualquier medio plano esencial de $\mbox{Hull}(P)$ se produce como un semiplano esencial de $\mbox{Conv}(\Pi_\omega)$ para algunos $\omega$ . Esto se deduce de la continuidad - para cualquier conjunto abierto alrededor de nuestro semiplano esencial existe algún $\omega$ , toma el límite de una subsecuencia de estos $\omega$ s...

Ahora, supongamos que el semiplano $\mbox{Re}(x) \le 0$ se produce como un semiplano esencial de algún $\mbox{Conv}(\Pi_\omega)$ es decir, hay al menos dos raíces de $\Pi_\omega$ con parte real $0$ y el resto de las raíces tienen parte real negativa. Si el número de raíces en la recta $\mbox{Re}(x) = 0$ (contada con multiplicidad) es dos, entonces por holomorficidad siempre podemos encontrar una dirección de movimiento $\omega$ para que ambas raíces se muevan hacia la izquierda, o ambas raíces permanezcan en la línea $\mbox{Re}(x) = 0$ y se mueven hacia el otro. Si podemos hacer que ambas raíces se muevan hacia la izquierda, entonces claramente el semiplano $\mbox{Re}(x) \le 0$ no es un semiplano esencial de $\mbox{Hull}(P)$ De lo contrario, seguimos empujando las raíces entre sí hasta que se topen entre sí o hasta que una tercera raíz llegue a la línea $\mbox{Re}(x) = 0$ . En cualquier caso, vemos que si un medio plano es esencial para $\mbox{Hull}(P)$ entonces hay algo de $\omega$ tal que el medio plano es esencial para $\mbox{Conv}(\Pi_\omega)$ y tal que al menos tres raíces (contadas con multiplicidad) de $\Pi_\omega$ están en el límite del semiplano, o dos de las raíces son iguales y $\Pi_\omega$ no tiene otras raíces.

Así que si dejamos que $L$ sea el conjunto de $\omega$ s tal que tres de las raíces de $\Pi_\omega$ se encuentran en una línea, obtenemos que $\mbox{Hull}(P) = \cap_{\omega \in L} \mbox{Conv}(\Pi_\omega)$ si $\deg P \ge 2$ .

Edición: En realidad, creo que hay un problema con esto. Es concebible que haya dos raíces en la línea $\mbox{Re}(x) = 0$ y tienen derivadas (con respecto a $\omega$ ) apuntando en direcciones opuestas, de manera que no podemos simplemente empujarlas una hacia la otra. Por ejemplo, el mapa de una raíz a la otra raíz podría, localmente, parecerse a la transformación lineal fraccionaria que envía el semiplano izquierdo a un círculo contenido en el semiplano derecho y tangente a la recta $\mbox{Re}(x) = 0$ en la otra raíz. Por lo tanto, es posible que tengamos que ampliar el conjunto $L$ para contener también los $\omega$ s para los que el cociente de las derivadas de dos de las raíces (con respecto a $\omega$ ) es un número real negativo.

Edición 2: Resulta que esto no es un problema. Llama a las dos raíces de la línea $\mbox{Re}(x) = 0$ $r_1$ y $r_2$ . Supongamos que localmente, $r_1(\epsilon) = \epsilon$ , $r_2(\epsilon) = i - m\epsilon + a\epsilon^k + O(\epsilon^{k+1})$ , $a \ne 0$ , $m > 0$ . Obsérvese que si tuviéramos $r_2(\epsilon) = i-m\epsilon$ entonces la intersección de los semiplanos correspondientes a $r_1(\epsilon), r_2(\epsilon)$ y $r_1(-\epsilon), r_2(-\epsilon)$ estaría contenida en el semiplano $\mbox{Re}(x) \le 0$ y la intersección de sus límites se situaría en $i/(m+1)$ . Ahora bien, si $k$ es par, entonces el término de corrección desplaza la intersección de los límites en $a\epsilon^k/(m+1) + O(\epsilon^{k+1})$ Así que si elegimos $\epsilon$ pequeño tal que $a\epsilon^k$ es real y negativo, entonces vemos que el semiplano $\mbox{Re}(x) \le 0$ no es esencial. Si $k$ es impar, entonces si elegimos $\epsilon$ pequeño tal que $\mbox{Re}(\epsilon) < 0$ y $a\epsilon^k$ es un tiempo real positivo $i$ entonces $r_2(\epsilon)$ se desplaza hacia arriba y $r_2(-\epsilon)$ se desplaza hacia abajo, por lo que la intersección de los límites se desplazará hacia la izquierda (haz un dibujo), por lo que de nuevo el semiplano $\mbox{Re}(x) \le 0$ no es esencial.

Answer 2

I. Primero quiero compartir algunos experimentos informáticos de H.H. Rugh. La siguiente imagen apoya la respuesta positiva del

PREGUNTA: ¿es este hexágono igual a $Hull(X^3−1)$ ?

triángulo (como nuevo usuario no se me permitía utilizar etiquetas de imagen).

Se puede encontrar un programa scilab que prueba este problema en baile de raíces . En particular, un ejemplo $z^6-3z^3+z$ similar a la de partida ejemplo de Zeb, mostrando que $Hull(P)$ puede ser estrictamente menor que $\bigcap_vConv(f_v)$ para $v$ que varían los valores críticos de $f$ (mostrados en polígonos azules). Véase más pequeño .

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II. He aquí una prueba (comunicación de Rugh) de la misma afirmación de Zeb (con $f=\Pi$ ):

Si dejamos que L sea el conjunto de $v$ de tal manera que tres de las raíces de $f_v$ se encuentran en una línea, obtenemos $Hull(P)=\bigcap_{v\in L}Conv(f_v)$ si $deg f≥3$ .

La idea subyacente es muy similar a la de Zeb.

Declaraciones: Que $f$ sea un polinomio de grado al menos 3. Supongamos que $a_0$ y $b_0$ son dos raíces simples distintas de $f(z)-v_0$ . Entonces para $v$ en un pequeño barrio de $v_0$ hay dos raíces simples $a(v)$ , $b(v)$ de $f(z)-v$ con $a(v_0)=a_0$ y $b(v_0)=b_0$ . En este caso,

1. Si para algún número complejo fijo $t\neq 0,1$ , la función holomórfica $v\mapsto t a(v) + (1-t)b(v)$ es una constante $c$ entonces $c$ es un punto crítico de $f$ y $f$ tiene una simetría rotacional en torno a $c$ .

2. Si el segmento $[a_0, b_0]$ es una arista límite del polígono $Conv(f_{v_0})$ y ningún otro punto de la línea que pasa por $a_0, b_0$ es mapeado a $v_0$ entonces

2.1 para $v$ lo suficientemente cerca de $v_0$ el segmento $[a(v),b(v)]$ es una arista límite del polígono $Conv(f_{v})$ , y para cualquier $t\in ]0,1[$ , el mapa $v\mapsto ta(v)+(1-t) b(v)$ es una cartografía abierta.

2.2. La línea que atraviesa $a_0, b_0$ está fuera $\bigcap_v Conv(f_{v})$ .

Prueba. 1. Sustitución de $f(z)$ por $f(z-c)$ si es necesario, podemos asumir $c=0$ . Tenga en cuenta que $a\mapsto b(f(a))$ está definida y es holomorfa en una vecindad de $a_0$ que satisfaga lo siguiente $b(f(a_0))=b_0$ y $f(b(f(a)))=f(a)$ . De ello se desprende que $ta+(1-t)b(f(a))\equiv 0$ así que $b(f(a))=\dfrac{ta}{t-1} $ . Por lo tanto, $f(a)=f(\dfrac {ta}{t-1})$ en un barrio de $a$ y, por tanto, en todo el plano complejo. Comparando los coeficientes concluimos que $\dfrac t{t-1}$ es una raíz de la unidad y $f'(0)=\dfrac{t}{t-1} f'(0)$ . Utilizando $\dfrac t{t-1}\ne 1$ obtenemos $f'(0)=0$ . Un ejemplo es $z^6+3z^4-5z^2$ .

2.1. La condición significa que todos los demás puntos de $f^{-1}(v_0)$ están contenidos en uno de los semiplanos abiertos delimitados por la línea que pasa por $a_0, b_0$ . Este es claramente una condición abierta.

Ahora bien, si $ ta(v)+(1-t) b(v)\equiv c$ , por el punto 1 $c$ debe ser un punto crítico y un centro de simetría y $Conv(f_{v_0})$ habría sido simétrica con respecto a $c$ . Esto no es posible por nuestra suposición de que todos los demás puntos de $f^{-1}(v_0)$ (y hay al menos uno debido a la suposición sobre el grado de $f$ y en la simplicidad de $a_0, b_0$ como raíces de $f_{v_0}$ ) están en un lado de la línea a través de $a_0, b_0$ .

2.2. Podemos observar el conjunto abierto $W=\bigcup_v Outer(f_v)$ donde $Outer(f_v)$ es el complemento de $Conv(f_v)$ . Podemos suponer $a_0, b_0$ están en el eje imaginario y todos los demás puntos de $f^{-1}(v_0)$ son en el semiplano izquierdo. Ya sabemos $i{\mathbb R}-[a_0, b_0]\subset Outer(f_{v_0})\subset W$ .

Arreglar algunos $t\in [0,1]$ y que $z_0=ta_0+(1-t)b_0$ . Podemos suponer $z_0=0$ . Ahora $v\mapsto z(v)=t a(v)+(1-t) b(v)$ es abierto. Elija un camino $v(s)$ tal que $z(v(s))$ es real negativo. Entonces el segmento $[a(v(s)), b(v(s))]$ pasa a través de $z(v(s))$ y se mantiene casi vertical para un tamaño suficientemente pequeño $s$ Así lo ha hecho $z_0$ en su lado derecho. Por 2.1 podemos concluir $z_0\in Outer(f_{v(s)})\subset W$ . qed.

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III. Por último, quiero compartir algunos experimentos numéricos (con la ayuda de Jos Leys) que ilustran un refinamiento (comunicación de Thurston) de la propiedad de Gauss-Lucas.

Consideremos un polinomio $f$ como una cobertura ramificada del plano complejo. Denotemos por ${\cal C}$ el casco convexo de los puntos críticos de $f$ . Se denomina {\em el convexo crítico} de $f$ . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (1) Para cualquier $v\in \mathbb C$ tenemos $Conv(f_v)\supset {\cal C}$ .

(2) El mapa $f$ es suryente en cualquier semiplano cerrado $H$ intersección de ${\cal C}$ .

(1) $\Longrightarrow$ (2). Supongamos que $f(H)\not\ni v$ . Entonces $f^{-1}(v)$ está contenida en $\mathbb C-H$ que es un semiplano abierto, en particular convexo. Entonces $Conv(f|_v)$ también se encuentra en $\mathbb C - H$ . Así que $Conv(f|_v)\not\supset {\cal C}$ , lo que contradice (1).

(2) $\Longrightarrow$ (1). Supongamos que $Conv(f|_v)$ no contiene todo el conjunto ${\cal C}$ . Entonces hay un medio plano cerrado $H$ intersección de ${\cal C}$ pero disjuntos de $Conv(f|_v)$ . Entonces $f(H)\not\ni v$ Es decir, $f$ no es suryente en $H$ , lo que contradice (2).

Ahora el refinamiento (dejaré la prueba a Thurston si alguien lo requiere) es que si uno toma una línea de apoyo $L$ de $\cal C$ hay una región en el semiespacio exterior de $L$ en el que $f$ es una biyección sobre $\mathbb C$ (inyectiva en el interior y biyectiva en la unión del interior con la mitad del arco límite). De hecho, esta región está limitada por dos rayos geodésicos de la métrica conforme $|f'(z)|\cdot |dz|$ tangente a $L$ en un punto crítico (si el punto crítico es simple, en caso contrario la región es aún más pequeña). Esto significa que utilizamos la longitud euclidiana en la región para medir los vectores tangentes en el dominio. Las geodésicas en esta métrica son los retrocesos por $f$ de líneas rectas.

La película bijetividad es realizado por Jos Leys para ilustrar este resultado.

Answer 3

Este problema ya ha sido considerado anteriormente:

Las notas del capítulo 4 de

Rahman/Schmeißer: Analytic Theory of Polynomials, Oxford University Press, 2002

mencionar este problema, afirmar que conv(P) es un subconjunto propio de hull(P) en general, y dar dos referencias:

1) J. L. Walsh: La localización de los puntos críticos de las funciones analíticas y armónicas, AMS Colloquium Publications Volumen 34, 1950, p. 72

2) E. Chamberlin y J. Wolfe: Note on a converse of Lucas's theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 5, 1954, pp. 203 - 205

He echado un vistazo a ambos, el artículo de Chamberlin y Wolfe se puede obtener en línea a través de la AMS de forma gratuita. El párrafo pertinente del libro de Walsh es el 3.5.1 (comienza en la página 71). Enumero los 4 teoremas que se dan allí por comodidad:

1) conv(P) = hull(P) si P es de grado 1 o 2

2) conv(P) = hull(P) si P es de grado 3 y sus ceros son colineales

3) Existe un P de grado 3, tal que conv(P) es un subconjunto propio de hull(P); ejemplo $P(z) = z^3 + 1$ .

4) Existe un P de grado 4 con ceros reales, tal que conv(P) es un subconjunto propio de hull(P); ejemplo $P(z) = (z^2 - 1)^2$ .

Chamberlin y Wolfe demuestran que

1) Cualquier punto de la frontera de hull(P) está en la frontera de conv( $\Pi_\omega$ ) para algunos $\omega$ .

2) Si un lado de cualquier conv( $\Pi_\omega$ ) contiene un punto de hull(P) y sólo dos ceros de $\Pi_\omega$ contando las multiplicidades, entonces P es de grado 1. (Aquí un lado es igual a conv( $\Pi_\omega$ ), si los ceros de $\Pi_\omega$ son colineales).

3) Los vértices de conv(P) no tienen por qué estar en la frontera de hull(P), ejemplo $\Pi(z) = z^2 (z + 1)(z^2 - 2az + 1 + a^2)$ donde a es positivo y suficientemente pequeño.

4) Aunque P sea cúbico, el casco(P) no tiene por qué estar determinado por sus primitivas con múltiples ceros, ejemplo P(z) = $4z^3 + 9/2 z^2 + 2z + 3/2$ .

Aunque he corregido lo que consideré un error tipográfico menor en el ejemplo $\Pi(z) = z^2 (z + 1)(z^2 - 2az + 1 + a^2)$ No he hecho ninguna corrección a fondo.

Walsh no da ninguna referencia especial a otros trabajos en la sección 3.5.1 y la única referencia proporcionada por Chamberlin y Wolfe es al libro de Walsh citado anteriormente.

Answer 4

Podemos caracterizar esos $P$ para lo cual $\mathrm{Hull}(P) = \mathrm{Conv}(P)$ .

Supongamos primero que las raíces de $P$ no se acueste en una línea. Demostramos que $\mathrm{Hull}(P) = \mathrm{Conv}(P)$ si y sólo si existe una antiderivada $Q$ de $P$ para lo cual $Q = A^2B$ y las raíces de $B$ se encuentran en el casco convexo de $A$ . El "si" es inmediato y se deja al lector.

Tenga en cuenta que una raíz $\beta$ de $P$ puede estar en la frontera de $\mathrm{Conv}(\Pi_\omega)$ sólo si $\beta$ es una raíz de $\Pi_\omega$ o todas las raíces de $\Pi_\omega$ se encuentran en una línea. Este último caso, por supuesto, es imposible si las raíces de $P$ no se encuentran en una línea.

Dejemos que $\beta$ sea una raíz de $P$ . Afirmamos que para cada barrio $N$ de $\Pi(\beta)$ hay un barrio $M$ de $\beta$ tal que $\mathrm{Conv}(\Pi_y) \supset M$ por cada $y \in \mathbb C \setminus N$ . Esto es válido para cualquier $M$ cuando $y$ se encuentra fuera de un gran subconjunto compacto de $\mathbb C$ , por lo que podemos pensar en $y$ que se extiende sobre un conjunto compacto. Para cada $y \neq \Pi(\beta)$ hay una bola de radio positivo alrededor de $\beta$ en $\mathrm{Conv}(\Pi_y)$ y el tamaño de la bola máxima varía de forma continua, por lo que la afirmación se cumple.

Ahora, supongamos que $\beta$ y $\gamma$ son vértices adyacentes (puntos extremos) de $\mathrm{Conv}(P)$ . Supongamos que $\gamma$ es no una raíz de $\Pi_{\Pi(\beta)}$ . Entonces $\gamma$ se encuentra en el interior de $\mathrm{Conv}(\Pi_{\Pi(\beta)})$ y podemos encontrar $\gamma'$ en el interior de $\mathrm{Conv}(\Pi_{\Pi(\beta)})$ para que $\overline{\gamma' \beta} \cap \mathrm{Conv}(P) = \beta$ . Entonces $\overline{\gamma' \beta} \subset \mathrm{Conv}(\Pi_y)$ para todos $y$ en un barrio adecuado $N$ de $\Pi(\beta)$ . Por otro lado, $M \subset \mathrm{Conv}(\Pi_y)$ para un barrio adecuado $M$ de $\beta$ y todos $y \notin N$ . Por lo tanto, $\overline{\gamma' \beta} \cap M \subset \mathrm{Hull}(P)$ , y por lo tanto $\mathrm{Conv}(P) \subsetneq \mathrm{Hull}(P)$ .

Así que si $\mathrm{Conv}(P) = \mathrm{Hull}(P)$ entonces $\Pi(\beta) = \Pi(\gamma)$ para todos los vértices adyacentes $\beta, \gamma$ de $\mathrm{Conv}(P)$ . Dejar $Q$ sea $\Pi(\beta)$ para cualquier punto extremo $\beta$ de $\mathrm{Conv}(P)$ vemos que cada punto extremo de $\mathrm{Conv}(P)$ es una raíz de $Q$ y, por tanto, una raíz doble de $Q$ . El traslado, si $\mathrm{Conv}(P) = \mathrm{Hull}(P)$ entonces $\mathrm{Conv}(P) \supseteq \mathrm{Conv}(Q)$ Así que $Q = A^2B$ donde las raíces de $B$ se encuentran en el casco convexo de las raíces de $A$ los puntos extremos de $\mathrm{Conv}(P)$ .

Supongamos ahora que las raíces de $P$ se encuentran en una línea. Podemos suponer que $P$ es real (con término inicial positivo) y todas las raíces de $P$ también son reales. Deja que $\beta$ y $\gamma$ sea la raíz menor y mayor de $P$ respectivamente. Entonces, por un análisis similar, $\mathrm{Hull}(P) = \mathrm{Conv}(P)$ si y sólo si

1. $\Pi_y$ tiene todas las raíces reales para algún valor de $y$ ,
2. Las raíces de $\Pi_{\Pi(\beta)}$ tienen parte real al menos $\beta$ y
3. Las raíces de $\Pi_{\Pi(\gamma)}$ tienen parte real a lo sumo $\gamma$ .

Se puede comprobar fácilmente que 1, 2 y 3 se mantienen cuando $P$ tiene grado 3. Estaría tentado a conjeturar que 2 y 3 siempre se mantienen (cuando las raíces de $P$ son reales).